Chapter 11 (Balbharati) · Class 10 Maharashtra SSC · MCQ Test
Co-ordinate Geometry (निर्देशांक भूमिती) MCQ Test — Class 10 Maharashtra SSC
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Co-ordinate Geometry (निर्देशांक भूमिती) — MCQ Questions
1बिंदू A$(2, 3)$ आणि B$(6, 6)$ यांच्यातील अंतर किती आहे?
Show Answer+
Answer: 5 एकक
Hint: दोन बिंदूंमधील अंतर काढण्यासाठी अंतर सूत्र वापरा. सूत्र आहे $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Solution:
बिंदू A$(x_1, y_1) = (2, 3)$ आणि B$(x_2, y_2) = (6, 6)$ आहेत.
अंतर सूत्र वापरून: — $d(A, B) = \sqrt{(6-2)^2 + (6-3)^2}$
गणना केल्यास: — $d(A, B) = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}$
म्हणून, अंतर आहे: — $d(A, B) = 5$ एकक
2तीन बिंदू A, B, C एकरेषीय (collinear) कधी असतात?
Show Answer+
Answer: जर $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$ असेल.
Hint: तीन बिंदू एकरेषीय असण्यासाठी, कोणत्याही दोन लहान अंतरांची बेरीज तिसऱ्या मोठ्या अंतराएवढी असावी लागते.
Solution:
तीन बिंदू A, B, C एकरेषीय असण्यासाठी, त्यापैकी कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतरांची बेरीज तिसऱ्या बिंदूंच्या अंतराएवढी असावी लागते.
याचा अर्थ, जर बिंदू B हा A आणि C च्या दरम्यान असेल, तर $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$ हे सत्य असले पाहिजे.
इतर पर्याय एकरेषीयतेची अट दर्शवत नाहीत, कारण ते त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीच्या नियमांशी किंवा इतर चुकीच्या अटींशी संबंधित आहेत.
3बिंदू P$(3, 5)$ हा रेषाखंड AB चा मध्यबिंदू आहे. जर बिंदू A चे निर्देशक $(1, 4)$ असतील, तर बिंदू B चे निर्देशक शोधा.
Show Answer+
Answer: $(5, 6)$
Hint: मध्यबिंदू सूत्र वापरा: $P_x = \frac{A_x + B_x}{2}$ आणि $P_y = \frac{A_y + B_y}{2}$. तुम्हाला $P_x, P_y, A_x, A_y$ दिले आहेत, $B_x, B_y$ शोधा.
Solution:
मध्यबिंदू सूत्रानुसार, $P_x = \frac{A_x + B_x}{2}$ आणि $P_y = \frac{A_y + B_y}{2}$.
दिलेले आहे: $P=(3, 5)$, $A=(1, 4)$. समजा $B=(x, y)$.
x-निर्देशांकासाठी: $3 = \frac{1 + x}{2} \Rightarrow 6 = 1 + x \Rightarrow x = 5$.
y-निर्देशांकासाठी: $5 = \frac{4 + y}{2} \Rightarrow 10 = 4 + y \Rightarrow y = 6$.
म्हणून, बिंदू B चे निर्देशक $(5, 6)$ आहेत.
4बिंदू P रेषाखंड AB ला $m:n = 2:3$ या गुणोत्तरात विभागतो. जर A चे निर्देशक $(1, 2)$ आणि B चे निर्देशक $(6, 7)$ असतील, तर बिंदू P चे निर्देशक काय आहेत?
Show Answer+
Answer: $(3, 4)$
Hint: विभाजन सूत्र (Section Formula) वापरा: $P_x = \frac{m x_2 + n x_1}{m+n}$ आणि $P_y = \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}$.
Solution:
दिलेले आहे: $A(x_1, y_1) = (1, 2)$, $B(x_2, y_2) = (6, 7)$, गुणोत्तर $m:n = 2:3$.
विभाजन सूत्रानुसार x-निर्देशांक: — $P_x = \frac{2 \times 6 + 3 \times 1}{2+3} = \frac{12 + 3}{5} = \frac{15}{5} = 3$
विभाजन सूत्रानुसार y-निर्देशांक: — $P_y = \frac{2 \times 7 + 3 \times 2}{2+3} = \frac{14 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$
म्हणून, बिंदू P चे निर्देशक $(3, 4)$ आहेत.
5बिंदू M$(0, 6)$ हा बिंदू P$(-2, 8)$ आणि Q$(1, 5)$ यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो?
Show Answer+
Answer: 2:1
Hint: विभाजन सूत्र वापरून y-निर्देशांकासाठी समीकरण तयार करा आणि गुणोत्तर $m:n$ शोधा.
Solution:
समजा बिंदू M रेषाखंड PQ ला $m:n$ या गुणोत्तरात विभागतो.
दिलेले आहे: $P(x_1, y_1) = (-2, 8)$, $Q(x_2, y_2) = (1, 5)$, $M(x, y) = (0, 6)$.
y-निर्देशांकासाठी विभाजन सूत्र वापरू: — $M_y = \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}$
किमती टाकल्यास: — $6 = \frac{m \times 5 + n \times 8}{m+n}$
समीकरण सोडवल्यास: — $6(m+n) = 5m + 8n \Rightarrow 6m + 6n = 5m + 8n \Rightarrow 6m - 5m = 8n - 6n \Rightarrow m = 2n$
म्हणून, $\frac{m}{n} = \frac{2}{1}$, म्हणजेच गुणोत्तर 2:1 आहे.
6त्रिकोण ABC च्या शिरोबिंदूंचे निर्देशक A$(1, 7)$, B$(3, 4)$ आणि C$(5, 1)$ आहेत. या त्रिकोणाच्या मध्यगा संपात बिंदूचे (centroid) निर्देशक शोधा.
Show Answer+
Answer: $(3, 4)$
Hint: त्रिकोणाच्या मध्यगा संपात बिंदूचे निर्देशक काढण्यासाठी सूत्र वापरा: $G_x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ आणि $G_y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$.
Solution:
दिलेले शिरोबिंदू A$(x_1, y_1)=(1, 7)$, B$(x_2, y_2)=(3, 4)$, C$(x_3, y_3)=(5, 1)$.
मध्यगा संपात बिंदू (G) च्या x-निर्देशांकासाठी: — $G_x = \frac{1+3+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$
मध्यगा संपात बिंदू (G) च्या y-निर्देशांकासाठी: — $G_y = \frac{7+4+1}{3} = \frac{12}{3} = 4$
म्हणून, मध्यगा संपात बिंदूचे निर्देशक $(3, 4)$ आहेत.
7बिंदू A$(k, 7)$ आणि B$(1, 15)$ यांच्यातील अंतर 10 एकक आहे. तर $k$ ची किंमत शोधा.
Show Answer+
Answer: 7 किंवा -5
Hint: अंतर सूत्र वापरा आणि दिलेल्या अंतराचा वर्ग करा. तुम्हाला $k$ साठी वर्गसमीकरण मिळेल.
Solution:
अंतर सूत्र: $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
दिलेले आहे: $d(A, B) = 10$, $A(k, 7)$, $B(1, 15)$.
किमती टाकल्यास: — $10 = \sqrt{(1-k)^2 + (15-7)^2}$
समीकरण सोडवल्यास: — $10 = \sqrt{(1-k)^2 + (8)^2} \Rightarrow 10 = \sqrt{(1-k)^2 + 64}$
दोन्ही बाजूंचा वर्ग केल्यास: $100 = (1-k)^2 + 64 \Rightarrow 36 = (1-k)^2$.
वर्गमूळ घेतल्यास: — $1-k = \pm 6$
केस 1: $1-k = 6 \Rightarrow k = 1-6 = -5$.
केस 2: $1-k = -6 \Rightarrow k = 1+6 = 7$.
म्हणून, $k$ ची किंमत 7 किंवा -5 आहे.
8राजला तीन बिंदू P$(1, 2)$, Q$(3, 4)$, R$(5, 6)$ एकरेषीय आहेत की नाही हे तपासायचे आहे. त्याने $d(P,Q) = \sqrt{8}$ आणि $d(Q,R) = \sqrt{8}$ असे काढले. तो असा निष्कर्ष काढतो की बिंदू एकरेषीय आहेत कारण $d(P,Q) = d(Q,R)$ आहे. राजचा निष्कर्ष बरोबर आहे का? आणि नसेल तर चूक काय आहे?
Show Answer+
Answer: नाही, निष्कर्ष चुकीचा आहे. एकरेषीय असण्यासाठी $d(P,Q) + d(Q,R) = d(P,R)$ असणे आवश्यक आहे.
Hint: एकरेषीयतेची खरी अट काय आहे? फक्त दोन अंतरे समान असणे पुरेसे नाही.
Solution:
राजचा निष्कर्ष चुकीचा आहे. फक्त दोन अंतरे समान असणे म्हणजे बिंदू एकरेषीय आहेत असे नाही. उदाहरणार्थ, समभुज त्रिकोणात दोन बाजू समान असतात, पण शिरोबिंदू एकरेषीय नसतात.
तीन बिंदू P, Q, R एकरेषीय असण्यासाठी, कोणत्याही दोन अंतरांची बेरीज तिसऱ्या अंतराएवढी असावी लागते. म्हणजे, $d(P,Q) + d(Q,R) = d(P,R)$ (किंवा तत्सम संयोजन) हे सत्य असले पाहिजे.
या प्रकरणात, $d(P,R)$ ची गणना आवश्यक आहे: $d(P,R) = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
दिलेले $d(P,Q) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ आणि $d(Q,R) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
येथे $d(P,Q) + d(Q,R) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. हे $d(P,R)$ च्या बरोबर आहे. त्यामुळे बिंदू एकरेषीय आहेत, पण राजचे कारण चुकीचे होते.
9एका शहराच्या नकाशावर, राजचे घर बिंदू $(2, 5)$ वर आहे आणि त्याचे शाळा बिंदू $(8, 9)$ वर आहे. राज आणि शाळेच्या घराच्या बरोबर मध्यभागी एक ग्रंथालय आहे. या ग्रंथालयाचे निर्देशक काय आहेत?
Show Answer+
Answer: $(5, 7)$
Hint: ग्रंथालय घर आणि शाळेच्या बरोबर मध्यभागी असल्याने, मध्यबिंदू सूत्र वापरा.
Solution:
राजचे घर $(x_1, y_1) = (2, 5)$ आणि शाळा $(x_2, y_2) = (8, 9)$.
ग्रंथालय मध्यभागी असल्याने, मध्यबिंदू सूत्र वापरा.
ग्रंथालयाचा x-निर्देशांक: — $M_x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
ग्रंथालयाचा y-निर्देशांक: — $M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
म्हणून, ग्रंथालयाचे निर्देशक $(5, 7)$ आहेत.
10त्रिकोणाचा मध्यगा संपात बिंदू (centroid) म्हणजे काय?
Show Answer+
Answer: त्रिकोणाच्या तिन्ही मध्यगांचा छेदनबिंदू.
Hint: मध्यगा संपात बिंदूची (centroid) व्याख्या आठवा. तो त्रिकोणातील कोणत्या रेषाखंडांशी संबंधित आहे?
Solution:
त्रिकोणाच्या मध्यगा संपात बिंदूची (Centroid) व्याख्या ही आहे की तो त्रिकोणाच्या तिन्ही मध्यगांचा (medians) छेदनबिंदू असतो.
मध्यगा म्हणजे शिरोबिंदूतून त्याच्या समोरील बाजूच्या मध्यबिंदूला जोडणारा रेषाखंड.
पर्याय A चुकीचा आहे कारण शिरोबिंदू एकमेकांना छेदत नाहीत.
पर्याय C (उंचीचा छेदनबिंदू) हा लंबसंपात बिंदू (Orthocenter) असतो, तर पर्याय D (बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा छेदनबिंदू) हा परिकेंद्र (Circumcenter) असतो.
Want more questions?
Practice 60+ questions with AI-powered doubt clearing and step-by-step solutions.
Tips for Co-ordinate Geometry (निर्देशांक भूमिती) MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Co-ordinate Geometry (निर्देशांक भूमिती) MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
Master Co-ordinate Geometry (निर्देशांक भूमिती) on SparkEd
Go beyond MCQs. Practice at three difficulty levels with instant feedback, solutions, and an AI coach to clear every doubt.
Start PractisingSparkEd Maths offers free MCQ tests for Class 1-10 across 7 education boards. All questions are aligned to the 2025-26 syllabus with step-by-step solutions and AI-powered doubt clearing.