Linear Equations in Two Variables (दोन चलांतील रेषीय समीकरणे) MCQ Test — Class 10 Maharashtra SSC

Solution:

दोन चलांतील रेषीय समीकरणाची सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ असे असते, जिथे $a, b, c$ वास्तव संख्या असतात आणि $a$ व $b$ एकाच वेळी शून्य नसतात. तसेच, $x$ आणि $y$ या दोन्ही चलांचा घातांक 1 असावा लागतो.

पर्याय A मध्ये $y^2$ असल्याने ते रेषीय समीकरण नाही.

पर्याय C मध्ये $x$ आणि $y$ छेदस्थानी असल्याने त्यांचे घातांक $-1$ आहेत, म्हणून ते रेषीय समीकरण नाही.

पर्याय D मध्ये $xy$ पद असल्याने ते रेषीय समीकरण नाही.

पर्याय B मधील $4x + 3y = 7$ हे समीकरण $4x + 3y - 7 = 0$ या स्वरूपात आहे, जिथे $x$ आणि $y$ या दोन्ही चलांचे घातांक 1 आहेत. म्हणून हे दोन चलांतील रेषीय समीकरण आहे.

Solution:

दिलेली उकल $(2, 3)$ म्हणजे $x = 2$ आणि $y = 3$.

हे बिंदू समीकरणात $(x + y = k)$ ठेवू.

$2 + 3 = k$

$5 = k$

Solution:

दोन चलांतील रेषीय समीकरणांच्या आलेखात, प्रत्येक समीकरण एक सरळ रेषा दर्शवते.

जर दोन रेषा एकाच बिंदूत छेदत असतील, तर तो छेदनबिंदू दोन्ही समीकरणांची सामाईक उकल असतो.

एकाच छेदनबिंदूचा अर्थ आहे की समीकरणांच्या संचाला 'एकच' आणि 'अद्वितीय' उकल मिळते.

Solution:

दोन चलांतील रेषीय समीकरणांच्या संचासाठी, गुणांकांच्या गुणोत्तरांवरून उकलींची संख्या निश्चित केली जाते.

जर $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ असेल, तर या अटीचा अर्थ असा की, आलेख काढल्यास दोन्ही रेषा एकमेकांना एकाच बिंदूत छेदतील.

दोन रेषा एकाच बिंदूत छेदत असतील, तर त्या समीकरणांच्या संचाला 'एकच' आणि 'अद्वितीय' उकल मिळते.

Solution:

दोन चलांतील रेषीय समीकरणांच्या संचासाठी, गुणांकांच्या गुणोत्तरांवरून आलेखातील रेषांचे स्वरूप निश्चित केले जाते.

जर $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ असेल, तर या अटीचा अर्थ असा की दोन्ही रेषा समांतर असतील.

समांतर रेषा एकमेकांना कधीही छेदत नाहीत, त्यामुळे समीकरणांना एकही उकल मिळत नाही.

Solution:

दिलेल्या माहितीनुसार, 5 रुपयांच्या नोटांची संख्या $x$ आणि 10 रुपयांच्या नोटांची संख्या $y$ आहे.

पहिली माहिती: 'एकूण 20 नोटा आहेत'. याचा अर्थ 5 रुपयांच्या नोटांची संख्या आणि 10 रुपयांच्या नोटांची संख्या यांची बेरीज 20 आहे. म्हणून पहिले समीकरण: $x + y = 20$.

दुसरी माहिती: 'एकूण किंमत 145 रुपये आहे'. याचा अर्थ 5 रुपयांच्या नोटांची एकूण किंमत ($5x$) आणि 10 रुपयांच्या नोटांची एकूण किंमत ($10y$) यांची बेरीज 145 आहे. म्हणून दुसरे समीकरण: $5x + 10y = 145$.

म्हणून, योग्य समीकरणे आहेत: $x + y = 20$ आणि $5x + 10y = 145$.

Solution:

दिलेले समीकरण आहे: $2x + 3y = 12$.

आपल्याला $x = 0$ दिलेला आहे. ही किंमत समीकरणात ठेवू.

$2(0) + 3y = 12$

$0 + 3y = 12$

$3y = 12$

$y = \frac{12}{3}$

$y = 4$

Solution:

समतुल्य समीकरण म्हणजे असे समीकरण जे मूळ समीकरणाला कोणत्याही शून्येतर संख्येने गुणल्यास किंवा भागल्यास मिळते आणि त्याची उकल समान असते.

मूळ समीकरण: $3x - 2y = 7$

पर्याय A: $6x - 4y = 14$. हे समीकरण मूळ समीकरणाला 2 ने गुणल्यास मिळते ($2 \times (3x - 2y) = 2 \times 7$). म्हणून हे समतुल्य आहे.

पर्याय B: $-3x + 2y = -7$. हे समीकरण मूळ समीकरणाला $-1$ ने गुणल्यास मिळते ($-1 \times (3x - 2y) = -1 \times 7$). म्हणून हे समतुल्य आहे.

पर्याय C: $9x - 6y = 21$. हे समीकरण मूळ समीकरणाला 3 ने गुणल्यास मिळते ($3 \times (3x - 2y) = 3 \times 7$). म्हणून हे समतुल्य आहे.

पर्याय D: $3x + 2y = 7$. या समीकरणात $y$ पदाचे चिन्ह बदलले आहे. हे समीकरण मूळ समीकरणाशी समतुल्य नाही, कारण $y$ चा गुणांक बदलल्याने समीकरणाची उकल बदलू शकते.

Solution:

आदेश पद्धत (substitution method) ही दोन चलांतील रेषीय समीकरणे सोडवण्याची एक पद्धत आहे.

या पद्धतीची पहिली आणि मुख्य पायरी म्हणजे दिलेल्या दोन समीकरणांपैकी कोणत्याही एका समीकरणातून एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या स्वरूपात व्यक्त करणे (उदाहरणार्थ, $x$ ची किंमत $y$ च्या स्वरूपात काढणे).

नंतर ही किंमत दुसऱ्या समीकरणात 'आदेश' म्हणून ठेवून एका चलातील समीकरण मिळवले जाते, जे सोडवणे सोपे असते.

Solution:

दिलेल्या माहितीनुसार, दोन संख्या $x$ आणि $y$ आहेत.

पहिली अट: 'दोन संख्यांची बेरीज 15 आहे'. हे गणिताच्या भाषेत $x + y = 15$ असे लिहिता येईल.

दुसरी अट: 'त्यांच्यातील फरक 3 आहे'. हे गणिताच्या भाषेत $x - y = 3$ असे लिहिता येईल (जर आपण $x > y$ मानले).

म्हणून, योग्य समीकरण संच आहे: $x + y = 15$ आणि $x - y = 3$.