Probability (संभाव्यता) MCQ Test — Class 10 Maharashtra SSC

Solution:

यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment) म्हणजे असा प्रयोग ज्यात सर्व संभाव्य निष्पत्ती (outcomes) माहित असतात, पण विशिष्ट निष्पत्तीचे अचूक भाकीत करता येत नाही. तसेच, प्रत्येक निष्पत्तीची समान शक्यता असते.

नाणे फेकणे, फासा फेकणे, पत्ता काढणे हे सर्व यादृच्छिक प्रयोग आहेत कारण त्यांचे परिणाम अनिश्चित असतात.

पाण्याची घनता मोजणे हा एक वैज्ञानिक प्रयोग आहे ज्यामध्ये विशिष्ट परिस्थितीत परिणाम निश्चित असतो. त्यामुळे, हा यादृच्छिक प्रयोग नाही.

म्हणून, योग्य उत्तर 'पाण्याची घनता मोजणे' हे आहे.

Solution:

जेव्हा एक नाणे फेकले जाते, तेव्हा दोन संभाव्य निष्पत्ती असतात: छापा (H) किंवा काटा (T).

जेव्हा दोन नाणी एकाच वेळी फेकली जातात, तेव्हा संभाव्य निष्पत्ती पुढीलप्रमाणे असतात: HH, HT, TH, TT.

म्हणून, नमुना अवकाश (Sample Space) $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.

नमुना घटकांची एकूण संख्या $n(S) = 4$ आहे.

Solution:

एक फासा फेकल्यावर मिळणारा नमुना अवकाश (Sample Space) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ असतो.

मूळ संख्या (Prime numbers) म्हणजे ज्या संख्यांना 1 आणि ती संख्या स्वतः याव्यतिरिक्त इतर कोणत्याही संख्येने भाग जात नाही. 1 ही मूळ संख्या नाही.

नमुना अवकाशातील मूळ संख्या आहेत: 2, 3, 5.

म्हणून, 'मूळ संख्या मिळणे' या घटनेतील नमुना घटकांचा संच $A = \{2, 3, 5\}$ आहे.

Solution:

जेव्हा एक फासा फेकतात, तेव्हा नमुना अवकाश (Sample Space) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ असतो.

म्हणून, $n(S) = 6$.

सम संख्या मिळणे ही घटना $A$ मानू. $A = \{2, 4, 6\}$.

म्हणून, $n(A) = 3$.

घटनेची संभाव्यता $P(A) = n(A) / n(S)$ या सूत्रानुसार काढली जाते.

$P(A) = 3 / 6 = 1 / 2$.

Solution:

कोणत्याही घटनेची संभाव्यता (Probability) नेहमी 0 (शून्य) पेक्षा मोठी किंवा समान आणि 1 (एक) पेक्षा लहान किंवा समान असते.

हे गणिताच्या भाषेत $0 \le P(A) \le 1$ असे दर्शवले जाते.

दिलेल्या पर्यायांपैकी, $0.5$, $1.0$ आणि $0$ हे $0$ आणि $1$ च्या दरम्यान किंवा समान आहेत, त्यामुळे ते संभाव्यता असू शकतात.

$1.5$ ही संख्या $1$ पेक्षा मोठी आहे, त्यामुळे ती कोणत्याही घटनेची संभाव्यता असू शकत नाही.

Solution:

कार्यालयातील पुरुषांची संख्या = 10.

कार्यालयातील स्त्रियांची संख्या = 15.

एकूण व्यक्तींची संख्या $n(S) = 10 + 15 = 25$.

एका व्यक्तीची यादृच्छिकपणे निवड केली असता, ती स्त्री असण्याची घटना $A$ मानू.

घटनेतील स्त्रियांची संख्या $n(A) = 15$.

स्त्री निवडल्या जाण्याची संभाव्यता $P(A) = n(A) / n(S) = 15 / 25$.

$P(A) = 15 / 25 = 3 / 5$ (अपूर्णांक संक्षिप्त रूपात आणून).

Solution:

संभाव्यता $P(A) = 0$ याचा अर्थ ती घटना कधीही घडू शकत नाही.

जी घटना कधीही घडू शकत नाही, तिला असंभव घटना (Impossible Event) म्हणतात.

उदाहरणार्थ, एक फासा फेकल्यावर 7 मिळण्याची संभाव्यता 0 आहे, कारण फाशावर 7 अंक नसतो.

याउलट, जर $P(A) = 1$ असेल, तर ती निश्चित घटना (Certain Event) असते.

Solution:

जेव्हा एक नाणे फेकले जाते, तेव्हा 2 संभाव्य निष्पत्ती (H, T) असतात.

जेव्हा तीन नाणी एकाच वेळी फेकली जातात, तेव्हा प्रत्येक नाण्यासाठी 2 पर्याय असतात.

एकूण नमुना घटकांची संख्या काढण्यासाठी, आपण $2 \times 2 \times 2$ असा गुणाकार करतो.

म्हणून, $n(S) = 2^3 = 8$.

नमुना अवकाश $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.

Solution:

सुनीलने नमुना अवकाश $S = \{(1,1), (1,2), ..., (6,6)\}$ असे लिहिणे योग्य आहे. कारण दोन फासे फेकल्यावर मिळणाऱ्या सर्व संभाव्य जोड्या त्यात समाविष्ट आहेत.

परंतु, $n(S)$ ची किंमत 12 गृहीत धरणे चुकीचे आहे.

प्रत्येक फाशावर 6 संभाव्य अंक येतात. त्यामुळे, दोन फासे फेकल्यावर एकूण नमुना घटकांची संख्या $6 \times 6 = 36$ असते.

म्हणून, सुनीलची चूक $n(S)$ ची चुकीची किंमत गृहीत धरण्यात आणि योग्य किंमत 36 न सांगण्यात आहे. म्हणजेच B आणि C दोन्ही पर्याय योग्य आहेत.

Solution:

पिशवीतील लाल चेंडूंची संख्या = 3.

पिशवीतील निळ्या चेंडूंची संख्या = 5.

पिशवीतील हिरव्या चेंडूंची संख्या = 2.

पिशवीतील एकूण चेंडूंची संख्या $n(S) = 3 + 5 + 2 = 10$.

यादृच्छिकपणे काढलेला चेंडू लाल असण्याची घटना $A$ मानू.

घटनेतील लाल चेंडूंची संख्या $n(A) = 3$.

लाल चेंडू निवडल्या जाण्याची संभाव्यता $P(A) = n(A) / n(S) = 3 / 10$.