Quadratic Equations (वर्ग समीकरणे) MCQ Test — Class 10 Maharashtra SSC

Solution:

वर्ग समीकरणामध्ये, चलाची (variable) सर्वात मोठी घातांक 2 असते आणि चलाचे घातांक पूर्ण संख्या (whole numbers) असावे लागतात. तसेच, $a \ne 0$.

पर्याय A) $x^3 - 2x^2 + 5 = 0$ यामध्ये सर्वात मोठी घातांक 3 आहे, म्हणून हे वर्ग समीकरण नाही.

पर्याय B) $x^2 + 3\sqrt{x} - 4 = 0$ म्हणजेच $x^2 + 3x^{1/2} - 4 = 0$. येथे $x$ ची घातांक $1/2$ आहे, जी पूर्ण संख्या नाही, म्हणून हे वर्ग समीकरण नाही.

पर्याय C) $(x - 1)(x + 2) = 0$ याचे विस्तार केल्यास $x^2 + 2x - x - 2 = 0$ म्हणजेच $x^2 + x - 2 = 0$ हे $ax^2 + bx + c = 0$ या स्वरूपात आहे, जिथे $a=1, b=1, c=-2$. म्हणून हे वर्ग समीकरण आहे.

पर्याय D) $\frac{1}{x} + x = 5$ यामध्ये $x$ ला गुणल्यास $1 + x^2 = 5x$ म्हणजेच $x^2 - 5x + 1 = 0$ हे वर्ग समीकरण आहे. पण प्रश्नात $(x-1)(x+2)=0$ हे सोप्या स्वरूपात दिले आहे. $D$ ला $x \ne 0$ ही अट आहे, जी वर्ग समीकरणाच्या व्याख्येमध्ये अंतर्भूत नसते.

Solution:

दिलेले समीकरण आहे: $3x^2 - 5x = -2$

हे समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ या सामान्य रूपात आणण्यासाठी, $-2$ ला डाव्या बाजूला घेऊ. $-2$ डाव्या बाजूला आल्यावर $+2$ होईल.

म्हणून, समीकरण $3x^2 - 5x + 2 = 0$ असे होईल.

या समीकरणाची $ax^2 + bx + c = 0$ या सामान्य रूपाशी तुलना केल्यास, आपल्याला मिळते:

$a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Solution:

दिलेले समीकरण आहे: $2x^2 + kx - 6 = 0$

आपल्याला दिले आहे की $x = 2$ हे या समीकरणाचे एक मूळ आहे. याचा अर्थ, $x$ च्या जागी 2 ठेवल्यास समीकरण सत्य होते.

$x = 2$ समीकरणात ठेवूया: $2(2)^2 + k(2) - 6 = 0$

$2(4) + 2k - 6 = 0$

$8 + 2k - 6 = 0$

$2 + 2k = 0$

$2k = -2$

$k = -\frac{2}{2}$

$k = -1$

Solution:

पर्याय A) 'प्रत्येक वर्ग समीकरणाला दोन भिन्न मूळे असतात' हे असत्य आहे. काही वर्ग समीकरणांना दोन समान मूळे असू शकतात (उदा. $x^2 - 4x + 4 = 0$, ज्याची मूळे $x=2, 2$ आहेत) किंवा वास्तविक नसलेली मूळे असू शकतात.

पर्याय B) '$x^2 = 25$ या समीकरणाची मूळे फक्त $x = 5$ आहे' हे असत्य आहे. $x^2 = 25$ म्हणजे $x = \pm\sqrt{25}$, म्हणून $x = 5$ किंवा $x = -5$. याची दोन मूळे आहेत.

पर्याय C) 'जर $ax^2 + bx + c = 0$ या समीकरणात $c=0$ असेल, तर एक मूळ नेहमी $0$ असते' हे सत्य आहे. जर $c=0$ असेल, तर समीकरण $ax^2 + bx = 0$ असे होते. $x(ax + b) = 0$. यावरून $x = 0$ किंवा $ax + b = 0$. म्हणून $x = 0$ हे नेहमी एक मूळ असते.

पर्याय D) 'वर्ग समीकरणात चलाची सर्वात मोठी घातांक नेहमी 1 असते' हे असत्य आहे. वर्ग समीकरणात चलाची सर्वात मोठी घातांक नेहमी 2 असते.

Solution:

दिलेले समीकरण आहे: $x^2 + 6x + 5 = 0$

पूर्ण वर्ग पद्धत वापरताना, $x^2 + bx$ या स्वरूपातील पदांना पूर्ण वर्ग बनवण्यासाठी $(b/2)^2$ हे पद मिळवावे लागते.

येथे $b = 6$ आहे.

तर, $(b/2)^2 = (6/2)^2 = (3)^2 = 9$.

म्हणून, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना $9$ मिळवावे लागेल: $x^2 + 6x + 9 + 5 = 9$ किंवा $x^2 + 6x + 9 = 9 - 5$.

Solution:

वर्ग समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ साठी, $x$ ची किंमत शोधण्याचे सूत्र आहे: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

या सूत्रातील $b^2 - 4ac$ या राशीला निश्चयक (Discriminant) म्हणतात आणि ते $\Delta$ (डेल्टा) या चिन्हाने दर्शवले जाते.

निश्चयकाची किंमत मूळांचे स्वरूप (वास्तव आणि भिन्न, वास्तविक आणि समान, किंवा वास्तविक नाहीत) ठरवते.

Solution:

प्रियाचे वय $x$ मानू.

प्रियाच्या वडिलांचे वय प्रियाच्या वयाच्या दुप्पट पेक्षा 4 वर्षांनी जास्त आहे.

म्हणून, वडिलांचे वय $= 2x + 4$.

त्यांच्या वयांचा गुणाकार 160 आहे, म्हणून: (प्रियाचे वय) $\times$ (वडिलांचे वय) $= 160$.

$x(2x + 4) = 160$.

हे वर्ग समीकरण $2x^2 + 4x = 160$ किंवा $2x^2 + 4x - 160 = 0$ असे होईल.

Solution:

दिलेले समीकरण आहे: $x^2 - 7x + 12 = 0$

गणेशने मध्यपदाचे विभाजन $-3x$ आणि $-4x$ असे केले आहे. तर समीकरण असे होईल: $x^2 - 3x - 4x + 12 = 0$

आता पहिल्या दोन पदांमधून सामाईक अवयव आणि शेवटच्या दोन पदांमधून सामाईक अवयव काढूया.

पहिल्या दोन पदांमधून ($x^2 - 3x$) $x$ सामाईक अवयव काढल्यास: $x(x - 3)$

शेवटच्या दोन पदांमधून ($-4x + 12$) $-4$ सामाईक अवयव काढल्यास: $-4(x - 3)$

म्हणून, पुढील पायरी $x(x - 3) - 4(x - 3) = 0$ अशी असेल.

Solution:

दिलेले समीकरण आहे: $m^2 - 10m + 21 = 0$

अवयव पद्धतीने सोडवण्यासाठी, आपल्याला अशा दोन संख्या शोधायच्या आहेत ज्यांचा गुणाकार $(1 \times 21) = 21$ असेल आणि बेरीज $-10$ असेल.

अशा संख्या $-3$ आणि $-7$ आहेत. कारण $(-3) \times (-7) = 21$ आणि $(-3) + (-7) = -10$.

तर, मध्यपदाचे विभाजन $m^2 - 3m - 7m + 21 = 0$ असे होईल.

आता सामाईक अवयव काढल्यास: $m(m - 3) - 7(m - 3) = 0$

$(m - 3)(m - 7) = 0$.

Solution:

वर्ग समीकरण सोडवण्यासाठी विविध पद्धती आहेत: अवयव पद्धत, पूर्ण वर्ग पद्धत आणि वर्ग सूत्र पद्धत. प्रत्येक पद्धतीचा वापर विशिष्ट प्रकारच्या समीकरणांसाठी सोयीस्कर असतो.

A) $x^2 - 9 = 0$: हे $(x-3)(x+3)=0$ असे अवयव पद्धतीने सहज सोडवता येते किंवा $x^2=9 \implies x = \pm 3$ असे सरळ वर्गमूळ काढून सोडवता येते.

B) $x^2 - 5x + 6 = 0$: याचे अवयव $(x-2)(x-3)=0$ असे सहज पडतात, त्यामुळे अवयव पद्धत सोयीची आहे.

D) $x^2 + 4x = 0$: $x(x+4)=0$ असे अवयव काढून सहज सोडवता येते.

C) $x^2 + 5x + 3 = 0$: या समीकरणाचे अवयव सहज काढता येत नाहीत (गुणाकार 3 आणि बेरीज 5 अशा पूर्णांक संख्या नाहीत). अशा समीकरणांसाठी वर्ग सूत्र पद्धत ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$) वापरणे सर्वात सोपे आणि जलद ठरते.