Trigonometry (त्रिकोणमिती) MCQ Test — Class 10 Maharashtra SSC

Solution:

त्रिकोणमितीनुसार, काटकोन त्रिकोणामध्ये एखाद्या लघुकोनाचे $\sin$ गुणोत्तर हे त्या कोनासमोरील बाजूची लांबी आणि कर्णाची लांबी यांचे गुणोत्तर असते.

या प्रश्नामध्ये, कोन $A$ चा विचार केल्यास, त्याच्यासमोरील बाजू $BC$ आहे आणि कर्ण $AC$ आहे.

म्हणून, $\sin A = \frac{\text{कोनासमोरील बाजू}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}$.

Solution:

आपल्याला माहित आहे की विशिष्ट कोनांसाठी त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांच्या किमती निश्चित असतात.

यापैकी, $\tan 45°$ ची किंमत 1 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे $\tan \theta = 1$ असल्याने, $\theta$ ची किंमत 45° असली पाहिजे.

Solution:

आपल्याला माहित आहे की $\sin \theta$ आणि $\text{cosec} \theta$ हे एकमेकांचे व्युत्क्रम आहेत.

याचा अर्थ $\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ किंवा $\sin \theta = \frac{1}{\text{cosec} \theta}$.

या समीकरणात, जर आपण $\sin \theta$ ला दोन्ही बाजूंनी गुणले, तर आपल्याला $\sin \theta \times \text{cosec} \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$ मिळेल.

म्हणून, $\sin \theta \times \text{cosec} \theta = 1$ हे सत्य विधान आहे.

Solution:

आपल्याला मूलभूत त्रिकोणमितीय नित्यसमीकरण माहित आहे: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

दिलेल्याप्रमाणे, $\sin \theta = \frac{3}{5}$. ही किंमत नित्यसमीकरणात ठेवूया:

$(\frac{3}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ (कारण $\theta$ हा लघुकोन आहे, $\cos \theta$ धन असेल).

Solution:

विशिष्ट कोनांसाठी त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांच्या किमती आठवूया:

$\sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 45° = 1$, $\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos 60° = \frac{1}{2}$

$\tan 60° = \sqrt{3}$

आता प्रत्येक पर्यायाची पडताळणी करूया:

A) $\sin 30° > \cos 30° \implies \frac{1}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$ (असत्य, कारण $1 < \sqrt{3}$)

B) $\tan 45° < \sin 45° \implies 1 < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (असत्य, कारण $1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$)

C) $\sin 30° = \cos 60° \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (सत्य)

D) $\tan 60° = 1 \implies \sqrt{3} = 1$ (असत्य)

म्हणून, पर्याय C सत्य आहे.

Solution:

आपल्याला $\sin 60°$ आणि $\tan 30°$ च्या योग्य किमती माहित असणे आवश्यक आहे.

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (राजने ही किंमत बरोबर घेतली आहे).

परंतु, $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (राजने $\tan 30°$ ची किंमत $\sqrt{3}$ घेतली आहे, जी चूक आहे. $\sqrt{3}$ ही $\tan 60°$ ची किंमत आहे).

तर, योग्य गणित असे असेल: $\sin 60° \times \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

राजने $\tan 30°$ ची किंमत चुकीची घेतली आहे.

Solution:

उंची आणि अंतराच्या उपयोजनांमध्ये, उन्नती कोन (Angle of elevation) ही संकल्पना वापरली जाते.

जेव्हा एखादा निरीक्षक त्याच्या डोळ्याच्या पातळीवरील क्षितिज समांतर रेषेपासून वरच्या दिशेने एखाद्या वस्तूवर पाहतो, तेव्हा दृष्टीरेषेने क्षितिज समांतर रेषेशी केलेला कोन हा उन्नती कोन असतो.

याउलट, अवनती कोन (Angle of depression) तेव्हा तयार होतो जेव्हा निरीक्षक वरून खाली पाहतो.

Solution:

आपल्याला माहित आहे की $\cot \theta$ हे $\tan \theta$ चे व्युत्क्रम आहे.

म्हणजे, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$.

दिलेल्याप्रमाणे $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.

तर, $\cot \theta = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.

Solution:

आपल्याला माहित आहे की $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.

$\theta = 90°$ साठी, आपल्याला $\sin 90°$ आणि $\cos 90°$ च्या किमती माहित असणे आवश्यक आहे.

$\sin 90° = 1$ आणि $\cos 90° = 0$.

म्हणून, $\tan 90° = \frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0}$.

गणितामध्ये, कोणत्याही संख्येला शून्याने भागणे परिभाषित नाही (Undefined). त्यामुळे, $\tan 90°$ परिभाषित नाही.

Solution:

काटकोन त्रिकोण $ABC$ मध्ये, कोन $B$ हा काटकोन आहे.

आपल्याला $\tan A$ ची किंमत काढायची आहे.

कोन $A$ साठी, समोरील बाजू $BC$ आहे आणि संलग्न बाजू $AB$ आहे.

$\tan A = \frac{\text{कोनासमोरील बाजू}}{\text{कोनासन्न बाजू}}$

दिलेल्याप्रमाणे, $BC = 6$ सेमी आणि $AB = 8$ सेमी.

म्हणून, $\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{8}$.

याला संक्षिप्त रूप दिल्यास, $\tan A = \frac{3}{4}$.