अध्याय 9 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Some Applications of Trigonometry MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Some Applications of Trigonometry — MCQ Questions
1एक ऊर्ध्वाधर खंभे की ऊँचाई $6 \sqrt{3}$ मीटर है और उसकी छाया की लंबाई 6 मीटर है। सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?
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Answer: $60^\circ$
Hint: ऊँचाई और छाया की लंबाई का अनुपात स्पर्शज्या (tan) फलन से संबंधित है।
Solution:
मान लीजिए खंभे की ऊँचाई (लंब) $h = 6\sqrt{3}$ मीटर और छाया की लंबाई (आधार) $b = 6$ मीटर है।
सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है। समकोण त्रिभुज में, हमें पता है कि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$।
मान रखने पर: — $$\tan \theta = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$$
चूंकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, इसलिए उन्नयन कोण $\theta = 60^\circ$ होगा।
2जमीन पर एक बिंदु से, जो एक मीनार के आधार से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: $10 \sqrt{3}$ m
Hint: मीनार की ऊँचाई (लंब) और आधार से दूरी (आधार) के लिए स्पर्शज्या (tan) का उपयोग करें।
Solution:
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है। बिंदु से मीनार के आधार की दूरी $d = 30$ मीटर है। उन्नयन कोण $\theta = 30^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज में, $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$।
मान रखने पर: — $$\tan 30^\circ = \frac{h}{30}$$
हम जानते हैं कि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$। — $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30}$$
इसलिए, $h = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ मीटर।
3एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार खड़ी है कि उसका निचला सिरा दीवार से 8 मीटर की दूरी पर है और वह जमीन के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: 16 m
Hint: सीढ़ी की लंबाई कर्ण है, और दीवार से दूरी आधार है। इन दोनों के संबंध के लिए कोसाइन (cos) फलन का उपयोग करें।
Solution:
मान लीजिए सीढ़ी की लंबाई $L$ है। दीवार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी (आधार) $d = 8$ मीटर है। जमीन के साथ सीढ़ी का कोण $\theta = 60^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज में, $\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$।
मान रखने पर: — $$\cos 60^\circ = \frac{8}{L}$$
हम जानते हैं कि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।
इसलिए, — $$\frac{1}{2} = \frac{8}{L}$$
$L = 8 \times 2 = 16$ मीटर।
4एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। पतंग से बंधी डोरी की लंबाई क्या होगी, यदि डोरी जमीन के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है और कोई ढील नहीं है?
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Answer: $40 \sqrt{3}$ m
Hint: पतंग की ऊँचाई (लंब) और डोरी की लंबाई (कर्ण) के बीच संबंध के लिए साइन (sin) फलन का उपयोग करें।
Solution:
मान लीजिए पतंग की ऊँचाई (लंब) $h = 60$ मीटर है। डोरी की लंबाई (कर्ण) $L$ है। जमीन के साथ डोरी का कोण $\theta = 60^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज में, $\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$।
मान रखने पर: — $$\sin 60^\circ = \frac{60}{L}$$
हम जानते हैं कि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसलिए, — $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60}{L}$$
$L = \frac{60 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{120}{\sqrt{3}} = \frac{120\sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3}$ मीटर।
5एक 75 मीटर ऊँचे प्रकाश स्तंभ के शीर्ष से देखने पर एक जहाज का अवनमन कोण $30^\circ$ है। प्रकाश स्तंभ के आधार से जहाज की दूरी ज्ञात कीजिए।
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Answer: $75 \sqrt{3}$ m
Hint: अवनमन कोण, जहाज से प्रकाश स्तंभ के शीर्ष के उन्नयन कोण के बराबर होता है। दूरी ज्ञात करने के लिए स्पर्शज्या (tan) का उपयोग करें।
Solution:
मान लीजिए प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई $h = 75$ मीटर है। प्रकाश स्तंभ के आधार से जहाज की दूरी $d$ है। अवनमन कोण $30^\circ$ है, इसलिए जहाज से प्रकाश स्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $30^\circ$ होगा।
समकोण त्रिभुज में, $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$।
मान रखने पर: — $$\tan 30^\circ = \frac{75}{d}$$
हम जानते हैं कि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इसलिए, — $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{75}{d}$$
$d = 75 \sqrt{3}$ मीटर।
6आंधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है। पेड़ के पाद बिंदु से उस बिंदु की दूरी जहाँ शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: $8 \sqrt{3}$ m
Hint: पेड़ की कुल ऊँचाई उसके खड़े हुए भाग और टूटे हुए भाग (जो अब कर्ण है) का योग होगी।
Solution:
मान लीजिए पेड़ का खड़ा हुआ भाग $h_1$ है और टूटा हुआ भाग $h_2$ है (जो अब कर्ण है)। पेड़ के पाद बिंदु से शिखर के छूने वाले बिंदु की दूरी (आधार) $d = 8$ मीटर है। कोण $\theta = 30^\circ$ है।
खड़े हुए भाग ($h_1$) के लिए: — $$\tan 30^\circ = \frac{h_1}{8} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_1}{8} \implies h_1 = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ मीटर}$$
टूटे हुए भाग ($h_2$) के लिए: — $$\cos 30^\circ = \frac{8}{h_2} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{h_2} \implies h_2 = \frac{16}{\sqrt{3}} \text{ मीटर}$$
पेड़ की कुल ऊँचाई = $h_1 + h_2$ — $$h_1 + h_2 = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ मीटर}$$
7जमीन पर एक बिंदु से एक टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। यदि टावर की ऊँचाई 50 मीटर है, तो टावर के आधार से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
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Answer: $50 \sqrt{3}$ m
Hint: टावर की ऊँचाई (लंब) और टावर से बिंदु की दूरी (आधार) के संबंध के लिए स्पर्शज्या (tan) का उपयोग करें।
Solution:
मान लीजिए टावर की ऊँचाई $h = 50$ मीटर है। टावर के आधार से बिंदु की दूरी $d$ है। उन्नयन कोण $\theta = 30^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज में, $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$।
मान रखने पर: — $$\tan 30^\circ = \frac{50}{d}$$
हम जानते हैं कि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इसलिए, — $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{d}$$
$d = 50 \sqrt{3}$ मीटर।
8एक टावर के आधार से गुजरने वाली सीधी रेखा पर 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से टावर के शीर्ष के उन्नयन कोण पूरक हैं। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: 6 m
Hint: पूरक कोणों का अर्थ है कि यदि एक कोण $\theta$ है, तो दूसरा $90^\circ - \theta$ होगा। $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करें।
Solution:
मान लीजिए टावर की ऊँचाई $h$ है। पहले बिंदु से टावर के आधार की दूरी $d_1 = 4$ मीटर और दूसरे बिंदु से दूरी $d_2 = 9$ मीटर है।
यदि पहले बिंदु से उन्नयन कोण $\theta$ है, तो दूसरे बिंदु से उन्नयन कोण $90^\circ - \theta$ होगा (क्योंकि कोण पूरक हैं)।
पहले बिंदु के लिए: — $$\tan \theta = \frac{h}{4} \quad \text{(समीकरण 1)}$$
दूसरे बिंदु के लिए: — $$\tan (90^\circ - \theta) = \frac{h}{9}$$
हम जानते हैं कि $\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$। — $$\cot \theta = \frac{h}{9} \quad \text{(समीकरण 2)}$$
समीकरण 1 और समीकरण 2 को गुणा करने पर: — $$\tan \theta \times \cot \theta = \frac{h}{4} \times \frac{h}{9}$$
चूंकि $\tan \theta \times \cot \theta = 1$: — $$1 = \frac{h^2}{36}$$
$$h^2 = 36 \implies h = \sqrt{36} = 6 \text{ मीटर}$$
9एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष से एक संचार मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^\circ$ है और उसके पाद का अवनमन कोण भी $45^\circ$ है। संचार मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: 40 m
Hint: भवन की ऊँचाई का उपयोग करके भवन और मीनार के बीच की दूरी ज्ञात करें, फिर उस दूरी का उपयोग करके मीनार के शेष भाग की ऊँचाई ज्ञात करें।
Solution:
मान लीजिए भवन की ऊँचाई AB = 20 मीटर है। संचार मीनार की ऊँचाई CD है। भवन के शीर्ष A से मीनार के शीर्ष C का उन्नयन कोण $\angle CAE = 45^\circ$ है और मीनार के पाद D का अवनमन कोण $\angle DAB = 45^\circ$ है।
त्रिभुज ABD में, $\angle ADB = \angle DAB = 45^\circ$ (एकांतर अंतः कोण)। — $$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BD} \implies 1 = \frac{20}{BD} \implies BD = 20 \text{ मीटर}$$
चूंकि BD = AE, इसलिए AE = 20 मीटर। — $$\text{अब, त्रिभुज AEC में, } \tan 45^\circ = \frac{CE}{AE} \implies 1 = \frac{CE}{20} \implies CE = 20 \text{ मीटर}$$
संचार मीनार की कुल ऊँचाई CD = CE + ED। चूंकि ED = AB, ED = 20 मीटर।
इसलिए, CD = 20 + 20 = 40 मीटर।
10जब सूर्य का उन्नयन कोण $45^\circ$ होता है, तो एक मीनार की छाया की लंबाई 10 मीटर होती है। जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^\circ$ होता है, तो उसी मीनार की छाया की लंबाई क्या होगी?
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Answer: $10 \sqrt{3}$ m
Hint: पहले $45^\circ$ के कोण का उपयोग करके मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें, फिर उस ऊँचाई का उपयोग करके $30^\circ$ के कोण पर छाया की लंबाई ज्ञात करें।
Solution:
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है।
स्थिति 1: जब उन्नयन कोण $45^\circ$ है और छाया की लंबाई 10 मीटर है। — $$\tan 45^\circ = \frac{h}{10} \implies 1 = \frac{h}{10} \implies h = 10 \text{ मीटर}$$
स्थिति 2: अब, जब उन्नयन कोण $30^\circ$ है, मान लीजिए छाया की लंबाई $x$ मीटर है। मीनार की ऊँचाई वही 10 मीटर रहेगी। — $$\tan 30^\circ = \frac{h}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x}$$
इसलिए, $x = 10 \sqrt{3}$ मीटर।
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Tips for Some Applications of Trigonometry MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Some Applications of Trigonometry MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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