Areas Related to Circles MCQ Test — Class 10 UP Board

Solution:

वृत्त की परिधि ($C$) का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।

दी गई परिधि $C = 44$ cm है। — $2\pi r = 44$

त्रिज्या ($r$) ज्ञात करें: — $2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \Rightarrow r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7 \text{ cm}$

वृत्त के क्षेत्रफल ($A$) का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है। — $A = \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 22 \times 7 = 154 \text{ cm}^2$

Solution:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: — $\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$

दी गई त्रिज्या $r = 7$ cm और केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 60^\circ$ है।

मानों को सूत्र में रखने पर: — $\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (7)^2$

गणना करने पर: — $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{1}{6} \times 22 \times 7 = \frac{154}{6} = \frac{77}{3} \text{ cm}^2$

Solution:

चाप की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र है: — $\text{चाप की लंबाई} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$

दी गई त्रिज्या $r = 21$ cm और केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 60^\circ$ है।

मानों को सूत्र में रखने पर: — $\text{चाप की लंबाई} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$

गणना करने पर: — $= \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \times 3 = 22 \text{ cm}$

Solution:

वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ दी गई है $22$ cm।

त्रिज्या ($r$) ज्ञात करें: — $2 \times \frac{22}{7} \times r = 22 \Rightarrow r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{2} \text{ cm}$

एक चतुर्थांश वृत्त का एक-चौथाई होता है, इसलिए इसका कोण $\theta = 90^\circ$ होता है। — $\text{चतुर्थांश का क्षेत्रफल} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi r^2$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4}$

गणना करने पर: — $= \frac{1}{4} \times 22 \times \frac{7}{4} = \frac{154}{16} = \frac{77}{8} \text{ cm}^2$

Solution:

त्रिज्या $r = 14$ cm और कोण $\theta = 90^\circ$।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें: — $\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (14)^2$

गणना करने पर: — $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196 = \frac{1}{4} \times 22 \times 28 = 22 \times 7 = 154 \text{ cm}^2$

केंद्र पर $90^\circ$ का कोण बनाने वाले त्रिभुज (समकोण त्रिभुज) का क्षेत्रफल ज्ञात करें: — $\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times r^2 \sin\theta = \frac{1}{2} \times (14)^2 \times \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \times 196 \times 1 = 98 \text{ cm}^2$

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल: — $\text{वृत्तखंड का क्षेत्रफल} = 154 - 98 = 56 \text{ cm}^2$

Solution:

जब एक सबसे बड़ा वृत्त एक वर्ग के अंदर बनाया जाता है, तो वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है।

वर्ग की भुजा = 14 cm, इसलिए वृत्त का व्यास ($d$) = 14 cm।

वृत्त की त्रिज्या ($r$) व्यास की आधी होती है: — $r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm}$

वृत्त के क्षेत्रफल ($A$) का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है। — $A = \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 22 \times 7 = 154 \text{ cm}^2$

Solution:

बड़े वृत्त की त्रिज्या ($R$) = 4 cm और छोटे वृत्त की त्रिज्या ($r$) = 3 cm।

वलय (रिंग) का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल और छोटे वृत्त के क्षेत्रफल के अंतर के बराबर होता है। — $\text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $\text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi ((4)^2 - (3)^2) = \pi (16 - 9)$

गणना करने पर: — $= 7\pi \text{ cm}^2$

Solution:

माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। उनके क्षेत्रफलों को $A_1$ और $A_2$ से निरूपित करते हैं।

दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $r_1:r_2 = 2:3$ है।

वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है। — $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

मानों को रखने पर: — $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

इसलिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $4:9$ होगा।

Solution:

चाप की लंबाई ($L$) ज्ञात करने का सूत्र है: — $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$

दी गई चाप की लंबाई $L = 11$ cm और त्रिज्या $r = 7$ cm है।

मानों को सूत्र में रखने पर: — $11 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7$

सरल करने पर: — $11 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 44$

कोण $\theta$ के लिए हल करने पर: — $\theta = \frac{11 \times 360^\circ}{44} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Solution:

पहिए का व्यास ($d$) = 84 cm।

पहिए की त्रिज्या ($r$) = $d/2 = 84/2 = 42$ cm।

पहिए की परिधि ($C$) ज्ञात करें, जो एक चक्कर में तय की गई दूरी है: — $C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 2 \times 22 \times 6 = 264 \text{ cm}$

तय की गई कुल दूरी = 792 मीटर। इसे cm में बदलें: — $\text{दूरी} = 792 \times 100 = 79200 \text{ cm}$

चक्करों की संख्या = कुल दूरी / एक चक्कर में तय की गई दूरी: — $\text{चक्करों की संख्या} = \frac{79200}{264} = 300$