Arithmetic Progressions MCQ Test — Class 10 UP Board

Solution:

समांतर श्रेढ़ी वह होती है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने से ठीक पहले वाले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर कहते हैं।

विकल्प A: $2-1=1$, $4-2=2$ (अंतर समान नहीं है)।

विकल्प B: $4-2=2$, $6-4=2$, $8-6=2$ (अंतर समान है, सार्व अंतर 2 है)।

विकल्प C: $3-1=2$, $7-3=4$ (अंतर समान नहीं है)।

विकल्प D: $1-0=1$, $3-1=2$ (अंतर समान नहीं है)।

इसलिए, '2, 4, 6, 8, ...' एक समांतर श्रेढ़ी है।

Solution:

दी गई समांतर श्रेढ़ी है: 3, 1, -1, -3, ...

पहला पद ($a_1$) = 3

दूसरा पद ($a_2$) = 1

सार्व अंतर ($d$) ज्ञात करने के लिए, हम दूसरे पद में से पहले पद को घटाते हैं:

$d = a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$

आप किसी भी क्रमागत पदों के जोड़े से इसकी पुष्टि कर सकते हैं, जैसे: $a_3 - a_2 = -1 - 1 = -2$।

Solution:

दिया गया है:

पहला पद ($a$) = 5

सार्व अंतर ($d$) = 3

पदों की संख्या ($n$) = 10 (हमें 10वाँ पद ज्ञात करना है)

$n$वें पद का सूत्र है: $a_n = a + (n-1)d$

मानों को सूत्र में रखने पर:

$a_{10} = 5 + (10-1) imes 3$ — $a_{10} = 5 + (9) imes 3 = 5 + 27 = 32$

Solution:

दी गई समांतर श्रेढ़ी है: 21, 18, 15, ...

पहला पद ($a$) = 21

सार्व अंतर ($d$) = $18 - 21 = -3$

मान लीजिए $n$वाँ पद ($a_n$) 0 है।

$n$वें पद का सूत्र है: $a_n = a + (n-1)d$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $0 = 21 + (n-1)(-3)$

$0 = 21 - 3n + 3$

$0 = 24 - 3n$

$3n = 24$

$n = \frac{24}{3} = 8$

अतः, 8वाँ पद 0 है।

Solution:

दी गई समांतर श्रेढ़ी है: 2, 7, 12, ...

पहला पद ($a$) = 2

सार्व अंतर ($d$) = $7 - 2 = 5$

पदों की संख्या ($n$) = 10 (पहले 10 पदों का योग ज्ञात करना है)

$n$ पदों के योग का सूत्र है: $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $S_{10} = \frac{10}{2}[2 \times 2 + (10-1) \times 5]$

$S_{10} = 5[4 + 9 \times 5]$

$S_{10} = 5[4 + 45]$

$S_{10} = 5 \times 49 = 245$

Solution:

दिया गया है:

पहला पद ($a$) = 1

अंतिम पद ($l$) = 11

सभी पदों का योग ($S_n$) = 36

$n$ पदों के योग का सूत्र, जब पहला और अंतिम पद दिया हो: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $36 = \frac{n}{2}(1 + 11)$

$36 = \frac{n}{2}(12)$

$36 = 6n$

$n = \frac{36}{6} = 6$

Solution:

यह एक समांतर श्रेढ़ी की समस्या है।

पहले महीने की बचत पहला पद ($a$) है: $a = 100$ रुपये।

हर महीने बचत में वृद्धि सार्व अंतर ($d$) है: $d = 20$ रुपये।

हमें 12वें महीने की बचत ज्ञात करनी है, इसलिए $n = 12$।

$n$वें पद का सूत्र है: $a_n = a + (n-1)d$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $a_{12} = 100 + (12-1) \times 20$

$a_{12} = 100 + 11 \times 20$

$a_{12} = 100 + 220 = 320$ रुपये।

Solution:

दिया गया है: तीसरा पद ($a_3$) = 12 और 10वाँ पद ($a_{10}$) = 33।

$n$वें पद का सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का प्रयोग करने पर:

$a_3 = a + (3-1)d \implies a + 2d = 12$ (समीकरण 1)

$a_{10} = a + (10-1)d \implies a + 9d = 33$ (समीकरण 2)

समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाने पर:

$(a + 9d) - (a + 2d) = 33 - 12$

$7d = 21$

$d = \frac{21}{7} = 3$

$d = 3$ का मान समीकरण 1 में रखने पर:

$a + 2(3) = 12$

$a + 6 = 12$

$a = 12 - 6 = 6$

अतः, समांतर श्रेढ़ी का पहला पद 6 है।

Solution:

दिया गया है: $a_7 = 19$ और $a_{13} = 37$।

$n$वें पद का सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का प्रयोग करने पर:

$a_7 = a + (7-1)d \implies a + 6d = 19$ (समीकरण 1)

$a_{13} = a + (13-1)d \implies a + 12d = 37$ (समीकरण 2)

सार्व अंतर ($d$) ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाते हैं:

$(a + 12d) - (a + 6d) = 37 - 19$

$6d = 18$

$d = \frac{18}{6} = 3$

अतः, समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर 3 है।

Solution:

8 के पहले 15 गुणज हैं: 8, 16, 24, ..., $8 \times 15 = 120$।

यह एक समांतर श्रेढ़ी है जहाँ:

पहला पद ($a$) = 8

सार्व अंतर ($d$) = 8

पदों की संख्या ($n$) = 15

अंतिम पद ($l$) = 120

$n$ पदों के योग का सूत्र है: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$

मानों को सूत्र में रखने पर: — $S_{15} = \frac{15}{2}(8 + 120)$

$S_{15} = \frac{15}{2}(128)$

$S_{15} = 15 \times 64$

$S_{15} = 960$