अध्याय 10 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Circles MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Circles — MCQ Questions
1एक वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?
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Answer: एक
Hint: स्पर्श रेखा केवल एक बिंदु पर वृत्त को छूती है।
Solution:
एक वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
अतः, यह वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
2वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
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Answer: 0
Hint: वृत्त के अंदर से खींची गई कोई भी रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी, वह स्पर्श रेखा नहीं होगी।
Solution:
वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से खींची गई कोई भी सीधी रेखा वृत्त को हमेशा दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी।
स्पर्श रेखा की परिभाषा के अनुसार, वह वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इसलिए, वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
3एक वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या के साथ कितने अंश का कोण बनाती है?
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Answer: $90^\circ$
Hint: यह वृत्त की स्पर्श रेखा के एक महत्वपूर्ण प्रमेय पर आधारित है।
Solution:
प्रमेय 10.1 के अनुसार, वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
लंब होने का अर्थ है कि वे एक दूसरे के साथ $90^\circ$ का कोण बनाती हैं।
4एक बाह्य बिंदु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं। यदि $PA = 8$ सेमी है, तो PB की लंबाई क्या होगी?
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Answer: 8 सेमी
Hint: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
Solution:
प्रमेय 10.2 के अनुसार, एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए, यदि $PA = 8$ सेमी है, तो $PB$ की लंबाई भी 8 सेमी होगी।
5एक वृत्त का केंद्र O है और त्रिज्या 5 सेमी है। बिंदु P वृत्त के बाहर स्थित है और OP की लंबाई 13 सेमी है। P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: 12 सेमी
Hint: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $90^\circ$ होता है। पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें।
Solution:
माना स्पर्श बिंदु A है। तो OA त्रिज्या है, और PA स्पर्श रेखा है।
प्रमेय के अनुसार, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, अतः $OA \perp PA$। इससे $\triangle OAP$ एक समकोण त्रिभुज बनता है, जहाँ OA लंब, PA आधार और OP कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय से: $OP^2 = OA^2 + PA^2$
दिए गए मानों को रखने पर: $13^2 = 5^2 + PA^2$
$169 = 25 + PA^2 \Rightarrow PA^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow PA = \sqrt{144} = 12$ सेमी।
6वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
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Answer: 2
Hint: इस स्थिति में, बिंदु से वृत्त तक दो सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती हैं।
Solution:
गणितीय रूप से, वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
ये दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में भी बराबर होती हैं।
7एक वृत्त में, एक दूसरे के समांतर कितनी अधिकतम स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
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Answer: 2
Hint: कल्पना करें कि आप वृत्त को ऊपर और नीचे से छूने वाली रेखाएँ खींच रहे हैं, जो एक-दूसरे के समांतर हों।
Solution:
एक वृत्त में, केवल दो स्पर्श रेखाएँ ही एक दूसरे के समांतर हो सकती हैं।
ये दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त के व्यास के विपरीत सिरों पर खींची जाती हैं।
8एक रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, क्या कहलाती है?
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Answer: छेदक रेखा
Hint: स्पर्श रेखा केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, जबकि जीवा वृत्त के अंदर होती है।
Solution:
एक रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, उसे छेदक रेखा (secant line) कहते हैं।
स्पर्श रेखा केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, और जीवा वृत्त के अंदर एक रेखा खंड होती है जिसके अंत बिंदु वृत्त पर होते हैं।
9यदि किसी वृत्त की त्रिज्या $r$ है, तो दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी क्या होगी?
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Answer: $2r$
Hint: दो समांतर स्पर्श रेखाएँ वृत्त के व्यास के सिरों पर होती हैं।
Solution:
एक वृत्त में, दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हमेशा वृत्त के व्यास के विपरीत सिरों पर खींची जाती हैं।
इसलिए, इन दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त के व्यास की लंबाई के बराबर होती है।
चूंकि व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, अतः दूरी $2r$ होगी।
10एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा PQ है, जहाँ Q स्पर्श बिंदु है। यदि वृत्त का केंद्र O है, तो $\angle OQP$ का माप क्या होगा?
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Answer: $90^\circ$
Hint: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का संबंध याद करें।
Solution:
प्रमेय 10.1 के अनुसार, स्पर्श बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
यहाँ Q स्पर्श बिंदु है, OQ त्रिज्या है, और PQ स्पर्श रेखा है।
अतः, OQ, PQ पर लंब है, जिसका अर्थ है कि $\angle OQP = 90^\circ$।
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Tips for Circles MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Circles MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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