अध्याय 3 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Pair of Linear Equations in Two Variables MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Pair of Linear Equations in Two Variables — MCQ Questions
1दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है?
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Answer: $ax + by + c = 0$
Hint: याद करें कि रैखिक समीकरणों में चरों की अधिकतम घात क्या होती है।
Solution:
एक रैखिक समीकरण में, चरों की अधिकतम घात 1 होती है।
$ax + by + c = 0$ दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण का मानक रूप है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और $a eq 0$, $b eq 0$।
2यदि दो रैखिक समीकरणों का आलेखीय निरूपण प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं, तो हल की संख्या क्या होगी?
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Answer: एक अद्वितीय हल
Hint: जब रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, तो वह बिंदु क्या दर्शाता है?
Solution:
जब दो रैखिक समीकरणों का आलेखीय निरूपण प्रतिच्छेदी रेखाएँ होती हैं, तो वे एक ही बिंदु पर मिलती हैं।
यह प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होता है।
3दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के युग्म के अद्वितीय हल होने की शर्त क्या है?
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Answer: $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$
Hint: अद्वितीय हल के लिए, रेखाएँ प्रतिच्छेदी होनी चाहिए।
Solution:
दो रैखिक समीकरणों के युग्म के अद्वितीय हल होने की शर्त है कि रेखाएँ प्रतिच्छेदी हों।
यह शर्त गुणांकों के अनुपात के संदर्भ में $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$ द्वारा व्यक्त की जाती है।
4यदि दो रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है, तो निम्न में से कौन सी शर्त सत्य है?
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Answer: $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$
Hint: असंगत युग्म का अर्थ है 'कोई हल नहीं'। ऐसी रेखाएँ कैसी होती हैं?
Solution:
असंगत युग्म का अर्थ है कि समीकरणों का कोई हल नहीं है।
जब समीकरणों का कोई हल नहीं होता है, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।
समांतर रेखाओं की शर्त है $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$।
5निम्न में से कौन सा समीकरण युग्म संगत है?
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Answer: D) $x + 2y = 3$, $4x + 3y = 2$
Hint: संगत युग्म के लिए, या तो अद्वितीय हल ($a_1/a_2 \neq b_1/b_2$) या अनंत हल ($a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$) होना चाहिए।
Solution:
एक समीकरण युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल (अद्वितीय या अपरिमित रूप से अनेक) हो। दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
A) $x + y = 5$, $2x + 2y = 11$: यहाँ $a_1/a_2 = 1/2$, $b_1/b_2 = 1/2$, $c_1/c_2 = 5/11$। चूंकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$, यह युग्म असंगत है।
B) $x + 2y = 4$, $2x + 4y = 12$: यहाँ $a_1/a_2 = 1/2$, $b_1/b_2 = 2/4 = 1/2$, $c_1/c_2 = 4/12 = 1/3$। चूंकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$, यह युग्म असंगत है।
C) $x - y = 8$, $3x - 3y = 16$: यहाँ $a_1/a_2 = 1/3$, $b_1/b_2 = -1/-3 = 1/3$, $c_1/c_2 = 8/16 = 1/2$। चूंकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$, यह युग्म असंगत है।
D) $x + 2y = 3$, $4x + 3y = 2$: यहाँ $a_1/a_2 = 1/4$, $b_1/b_2 = 2/3$। चूंकि $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$, यह युग्म संगत है (अद्वितीय हल)।
6प्रतिस्थापन विधि में, दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए पहला चरण क्या होता है?
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Answer: एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त करना।
Hint: प्रतिस्थापन का अर्थ 'एक के स्थान पर दूसरे को रखना' होता है।
Solution:
प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) में, हमारा उद्देश्य एक समीकरण को एक चर में बदलना होता है।
यह पहले एक समीकरण से एक चर (जैसे x) का मान दूसरे चर (y) के पदों में व्यक्त करके किया जाता है। फिर इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे वह एक चर वाला समीकरण बन जाता है।
7दो संख्याओं का योग 35 है और उनका अंतर 13 है। यदि संख्याएँ x और y हैं, तो समीकरण युग्म क्या होगा?
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Answer: A) $x + y = 35$, $x - y = 13$
Hint: 'योग' का अर्थ जोड़ और 'अंतर' का अर्थ घटाना होता है।
Solution:
पहली शर्त के अनुसार, दो संख्याओं का योग 35 है: — $x + y = 35$
दूसरी शर्त के अनुसार, उनका अंतर 13 है: — $x - y = 13$
अतः, समीकरण युग्म है: $x + y = 35$ और $x - y = 13$।
8निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण दो चरों में एक रैखिक समीकरण का उदाहरण है?
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Answer: $3x + 4y = 7$
Hint: दो चरों में एक रैखिक समीकरण का सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a तथा b दोनों शून्य नहीं हैं।
Solution:
दो चरों में एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें दो चर होते हैं और प्रत्येक चर की घात 1 होती है। इस समीकरण को $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विकल्प (A) $x^2 + 2y = 5$ में चर x की घात 2 है, इसलिए यह रैखिक नहीं है।
विकल्प (C) $xy + y = 9$ में चर x और y का गुणनफल xy है, जो इसे रैखिक नहीं बनाता है।
विकल्प (D) $\sqrt{x} + y = 10$ में चर x की घात $1/2$ है, इसलिए यह रैखिक नहीं है।
विकल्प (B) $3x + 4y = 7$ में, x और y दोनों चरों की घात 1 है, इसलिए यह दो चरों में एक रैखिक समीकरण है।
9यदि दो रैखिक समीकरणों के आलेख एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो समीकरण युग्म का हल कैसा होगा?
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Answer: अद्वितीय हल
Hint: प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और वह बिंदु अद्वितीय होता है।
Solution:
दो रैखिक समीकरणों के आलेख एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, इसका अर्थ है कि केवल एक ही बिंदु ऐसा है जो दोनों रेखाओं पर स्थित है।
चूंकि एक रैखिक समीकरण के हल उसके आलेख पर स्थित बिंदु होते हैं, और दोनों रेखाओं का केवल एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है,
इसलिए समीकरण युग्म का केवल एक अद्वितीय हल होगा।
10प्रतिस्थापन विधि से समीकरण $2x + y = 7$ और $x - y = 2$ को हल करने के लिए, समीकरण $x - y = 2$ से x का मान क्या होगा?
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Answer: $x = 2 + y$
Hint: किसी एक चर को समीकरण के एक तरफ अकेला छोड़ दें।
Solution:
दिया गया दूसरा समीकरण है: $x - y = 2$।
x का मान ज्ञात करने के लिए, y को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर ले जाएँ।
$x = 2 + y$
यह x का मान है जिसे प्रतिस्थापन विधि में दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
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Tips for Pair of Linear Equations in Two Variables MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Pair of Linear Equations in Two Variables MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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