Polynomials MCQ Test — Class 10 UP Board

Solution:

विकल्प (A) $x^2 + 2x + 1$ में चर x की घातें 2, 1, 0 (अचर पद के लिए) हैं, जो सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। अतः यह एक बहुपद है।

विकल्प (B) $3x^3 - \sqrt{2}x + 5$ में चर x की घातें 3, 1, 0 हैं, जो सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। अतः यह एक बहुपद है।

विकल्प (C) $\frac{1}{x} + x = x^{-1} + x$ में चर x की एक घात -1 है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है। अतः यह एक बहुपद नहीं है।

विकल्प (D) $y^4 - 7y^2 + y$ में चर y की घातें 4, 2, 1 हैं, जो सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। अतः यह एक बहुपद है।

Solution:

बहुपद $y = p(x)$ के शून्यकों की संख्या, उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

दिए गए ग्राफ में, वक्र x-अक्ष को 3 अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

इसलिए, बहुपद के शून्यकों की संख्या 3 है।

Solution:

बहुपद $p(x) = 5x - 10$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए, हमें $p(x) = 0$ सेट करना होगा।

$5x - 10 = 0$

$5x = 10$

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Solution:

दिए गए द्विघात बहुपद $x^2 + 7x + 10$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर, हमें मिलता है:

$a = 1$, $b = 7$, $c = 10$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta)$ सूत्र से दिया जाता है: $-\frac{b}{a}$

शून्यकों का योग $= -\frac{7}{1} = -7$

Solution:

दिए गए द्विघात बहुपद $3x^2 - x - 4$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर, हमें मिलता है:

$a = 3$, $b = -1$, $c = -4$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \beta)$ सूत्र से दिया जाता है: $\frac{c}{a}$

शून्यकों का गुणनफल $= \frac{-4}{3}$

Solution:

दिया गया है: शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = \sqrt{2}$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = \frac{1}{3}$

एक द्विघात बहुपद को $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

मान रखने पर: $k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}]$

यदि हम $k = 3$ लेते हैं (ताकि भिन्न हट जाए), तो हमें मिलता है: $3[x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}] = 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$

Solution:

चूंकि 5 बहुपद $p(x) = x^2 - kx - 15$ का एक शून्यक है, इसलिए $p(5)$ का मान 0 होगा।

$p(5) = (5)^2 - k(5) - 15 = 0$

$25 - 5k - 15 = 0$

$10 - 5k = 0$

$10 = 5k$

$k = \frac{10}{5}$

$k = 2$

Solution:

हमें बहुपद $p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ को $x+1$ से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना है।

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब $p(x)$ को $(x-a)$ से भाग दिया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है। यहाँ, भाजक $x+1$ है, जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। तो, $a = -1$।

शेषफल $ = p(-1)$

$p(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1$

$p(-1) = -1 + 3(1) - 3 + 1$

$p(-1) = -1 + 3 - 3 + 1$

$p(-1) = 0$

Solution:

चूंकि $x=2$ बहुपद $p(x) = x^2 - 4x + k$ का एक शून्यक है, इसलिए $p(2)$ का मान 0 होगा।

$p(2) = (2)^2 - 4(2) + k = 0$

$4 - 8 + k = 0$

$-4 + k = 0$

$k = 4$

Solution:

एक बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या उसकी घात के बराबर होती है।

एक द्विघात बहुपद की घात 2 होती है।

अतः, एक द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं।