अध्याय 4 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Quadratic Equations MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Quadratic Equations — MCQ Questions
1एक द्विघात समीकरण में चर की अधिकतम घात क्या होती है?
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Answer: 2
Hint: द्विघात (Quadratic) शब्द का अर्थ 'दो' से संबंधित है। यह सीधे समीकरण की परिभाषा से जुड़ा है।
Solution:
एक द्विघात समीकरण को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $a \neq 0$।
इस मानक रूप में, चर $x$ की अधिकतम घात 2 है।
इसलिए, एक द्विघात समीकरण में चर की अधिकतम घात 2 होती है।
2द्विघात समीकरण $2x^2 - 4x + 3 = 0$ के मूलों की प्रकृति क्या है?
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Answer: कोई वास्तविक मूल नहीं
Hint: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ का मान ज्ञात करें।
Solution:
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$a = 2$, $b = -4$, $c = 3$।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ का मान ज्ञात करें: — $D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8$
चूंकि $D < 0$ है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
3एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है। खेत की लंबाई (मीटर में) उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1 अधिक है। यदि चौड़ाई $x$ मीटर है, तो लंबाई ज्ञात करने के लिए उपयुक्त द्विघात समीकरण क्या है?
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Answer: $2x^2 + x - 528 = 0$
Hint: आयताकार खेत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। दी गई शर्तों के अनुसार लंबाई को चौड़ाई के पदों में व्यक्त करें।
Solution:
माना खेत की चौड़ाई $x$ मीटर है।
प्रश्न के अनुसार, खेत की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1 अधिक है, इसलिए लंबाई $= (2x + 1)$ मीटर।
खेत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
$528 = (2x + 1)x$
समीकरण को सरल करने पर: $528 = 2x^2 + x$ या $2x^2 + x - 528 = 0$।
4द्विघात समीकरण $x^2 - 3x - 10 = 0$ के मूल क्या हैं?
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Answer: $x = 5, x = -2$
Hint: आप समीकरण को गुणनखंडन विधि से या द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल कर सकते हैं।
Solution:
दिए गए समीकरण है $x^2 - 3x - 10 = 0$।
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडन करने पर, हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-10$ हो और योग $-3$ हो। वे संख्याएँ $-5$ और $2$ हैं।
$x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$
$x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
इसलिए, $x - 5 = 0$ या $x + 2 = 0$।
हमें $x = 5$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
5यदि $kx(x - 2) + 6 = 0$ के मूल समान हैं, तो $k$ का मान क्या होगा?
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Answer: 6
Hint: समान मूलों के लिए, विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ का मान शून्य होना चाहिए। पहले समीकरण को मानक द्विघात रूप में बदलें।
Solution:
दिए गए समीकरण को सरल करें: $kx(x - 2) + 6 = 0$
$kx^2 - 2kx + 6 = 0$
इसकी तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर, $a = k$, $b = -2k$, $c = 6$।
समान मूलों के लिए, विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
$b^2 - 4ac = 0$
$(-2k)^2 - 4(k)(6) = 0$
$4k^2 - 24k = 0$
$4k(k - 6) = 0$
इसलिए, $4k = 0$ या $k - 6 = 0$।
$k = 0$ या $k = 6$।
यदि $k = 0$ होगा, तो समीकरण द्विघात नहीं रहेगा ($0x^2 - 0x + 6 = 0 \Rightarrow 6 = 0$, जो असंभव है)। इसलिए, $k = 0$ मान्य नहीं है।
अतः, $k = 6$।
6दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। यदि पहला पूर्णांक $x$ है, तो इस स्थिति को व्यक्त करने वाला द्विघात समीकरण क्या होगा?
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Answer: $x^2 + x - 306 = 0$
Hint: क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का अर्थ है एक के बाद एक आने वाले पूर्णांक।
Solution:
माना पहला धनात्मक पूर्णांक $x$ है।
तो, अगला क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $x + 1$ होगा।
प्रश्न के अनुसार, इन दोनों पूर्णांकों का गुणनफल 306 है।
$x(x + 1) = 306$
समीकरण को सरल करने पर: $x^2 + x = 306$
या $x^2 + x - 306 = 0$।
7द्विघात समीकरण $3x^2 - 5x + 2 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए द्विघात सूत्र क्या होगा?
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Answer: $x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6}$
Hint: द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करें।
Solution:
दिए गए समीकरण $3x^2 - 5x + 2 = 0$ की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 3$, $b = -5$, $c = 2$।
द्विघात सूत्र है $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)}$ — $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}$
$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6}$
8एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी एक समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घंटा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। रेलगाड़ी की मूल चाल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त द्विघात समीकरण क्या है?
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Answer: $x^2 - 8x - 1280 = 0$
Hint: समय = दूरी / चाल। दो अलग-अलग स्थितियों के लिए समय की तुलना करें।
Solution:
माना रेलगाड़ी की मूल चाल $x$ किमी/घंटा है।
480 किमी की दूरी तय करने में लगा मूल समय $t_1 = \frac{480}{x}$ घंटे।
जब चाल 8 किमी/घंटा कम होती है, तो नई चाल $(x - 8)$ किमी/घंटा होती है।
480 किमी की दूरी तय करने में लगा नया समय $t_2 = \frac{480}{x - 8}$ घंटे।
प्रश्न के अनुसार, $t_2$, $t_1$ से 3 घंटे अधिक है।
$t_2 - t_1 = 3$
$\frac{480}{x - 8} - \frac{480}{x} = 3$
$480 \left( \frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x} \right) = 3$
$480 \left( \frac{x - (x - 8)}{x(x - 8)} \right) = 3$
$480 \left( \frac{8}{x^2 - 8x} \right) = 3$
$3840 = 3(x^2 - 8x)$
दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर:
$1280 = x^2 - 8x$
अतः, $x^2 - 8x - 1280 = 0$।
9यदि एक द्विघात समीकरण के मूल $2$ और $-3$ हैं, तो समीकरण क्या होगा?
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Answer: $x^2 + x - 6 = 0$
Hint: यदि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं, तो समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ होता है।
Solution:
दिए गए मूल $\alpha = 2$ और $\beta = -3$ हैं।
मूलों का योगफल $(\alpha + \beta) = 2 + (-3) = -1$।
मूलों का गुणनफल $(\alpha\beta) = 2 \times (-3) = -6$।
द्विघात समीकरण का सामान्य रूप है $x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$।
$x^2 - (-1)x + (-6) = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$।
10समीकरण $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ के मूल क्या होंगे?
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Answer: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Hint: आप या तो द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं या ध्यान दें कि यह एक पूर्ण वर्ग हो सकता है।
Solution:
दिए गए समीकरण है $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$।
इसे पूर्ण वर्ग बनाने का प्रयास करें: हम इसे $(\sqrt{3}x)^2 - 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ के रूप का है, जहाँ $a = \sqrt{3}x$ और $b = \sqrt{2}$।
तो, $(\sqrt{3}x - \sqrt{2})^2 = 0$।
$(\sqrt{3}x - \sqrt{2})(\sqrt{3}x - \sqrt{2}) = 0$
इससे हमें $\sqrt{3}x - \sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{3}x = \sqrt{2}$
$x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
चूंकि यह एक पूर्ण वर्ग था, दोनों मूल समान होंगे: $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
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Tips for Quadratic Equations MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Quadratic Equations MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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