अध्याय 1 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Real Numbers MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Real Numbers — MCQ Questions
1यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार, दो धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ के लिए, अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$, जहाँ $r$ के लिए कौन सी शर्त सत्य है?
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Answer: $0 \le r < b$
Hint: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा और शून्य या शून्य से बड़ा होता है।
Solution:
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में, $a$ भाज्य है, $b$ भाजक है, $q$ भागफल है और $r$ शेषफल है।
शेषफल ($r$) हमेशा भाजक ($b$) से छोटा होता है और यह शून्य के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है।
अतः, शर्त $0 \le r < b$ सत्य है।
2यदि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ का HCF 12 और LCM 360 है, तो $a \times b$ का मान क्या होगा?
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Answer: 4320
Hint: दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
Solution:
हम जानते हैं कि दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$ होता है।
दिए गए मानों के अनुसार, HCF = 12 और LCM = 360 है।
अतः, $a \times b = 12 \times 360$
$a \times b = 4320$
3संख्या 140 के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल क्या है?
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Answer: $2^2 \times 5 \times 7$
Hint: संख्या को सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड से भाग देना शुरू करें।
Solution:
संख्या 140 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
$140 \div 2 = 70$
$70 \div 2 = 35$
$35 \div 5 = 7$
$7 \div 7 = 1$
अतः, 140 के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल $2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 5 \times 7$ है।
4निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अपरिमेय है?
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Answer: $\sqrt{12}$
Hint: एक संख्या अपरिमेय होती है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हों और $q \neq 0$ हो। पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल एक परिमेय संख्या होती है।
Solution:
$\sqrt{25} = 5$, जो एक परिमेय संख्या है।
$\sqrt{16} = 4$, जो एक परिमेय संख्या है।
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$। क्योंकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए $2\sqrt{3}$ भी एक अपरिमेय संख्या है।
$\sqrt{49} = 7$, जो एक परिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{12}$ एक अपरिमेय संख्या है।
5परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
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Answer: शांत
Hint: यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड $2^n 5^m$ के रूप के हों, तो उसका दशमलव प्रसार शांत होता है।
Solution:
दी गई परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ है।
हमें हर (denominator) 3125 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे।
$3125 = 5 \times 625 = 5 \times 5 \times 125 = 5 \times 5 \times 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$
हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 5 हैं, अर्थात् यह $2^n 5^m$ (यहाँ $n=0, m=5$) के रूप का है।
इसलिए, इसका दशमलव प्रसार शांत होगा।
696 और 404 का HCF क्या है?
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Answer: 4
Hint: दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें और उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल निकालें।
Solution:
96 के अभाज्य गुणनखंड: $96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3^1$
404 के अभाज्य गुणनखंड: $404 = 2 \times 2 \times 101 = 2^2 \times 101^1$
दोनों में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2^2$ है।
अतः, HCF(96, 404) = $2^2 = 4$
712, 15 और 21 का LCM क्या है?
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Answer: 420
Hint: सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखें और प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल ज्ञात करें।
Solution:
अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड (2, 3, 5, 7) की उच्चतम घात लें:
$2^2$ (12 से), $3^1$ (12, 15, 21 से), $5^1$ (15 से), $7^1$ (21 से)
LCM इन उच्चतम घातों का गुणनफल है: LCM(12, 15, 21) = $2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 12 \times 35 = 420$
8निम्नलिखित में से कौन सी संख्या परिमेय है?
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Answer: $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$
Hint: परिमेय संख्या वह होती है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p, q$ पूर्णांक हों और $q \neq 0$ हो। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें इस रूप में नहीं लिखा जा सकता।
Solution:
विकल्प A: $2 - \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का अंतर है, जो हमेशा अपरिमेय होता है।
विकल्प B: $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ है, जो एक पूर्णांक है और इसे $\frac{5}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः, यह एक परिमेय संख्या है।
विकल्प C: $2\pi$ एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या ($\pi$) का गुणनफल है, जो अपरिमेय होता है।
विकल्प D: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ दो अपरिमेय संख्याओं का योग है, जो अपरिमेय होता है।
अतः, $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
9यदि दो संख्याओं 306 और 657 का HCF 9 है, तो उनका LCM क्या है?
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Answer: 22338
Hint: दो संख्याओं का गुणनफल = उनके HCF $\times$ उनके LCM।
Solution:
हम जानते हैं कि दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$ होता है।
दी गई संख्याएँ $a = 306$ और $b = 657$ हैं, और HCF = 9 है।
सूत्र में मान रखने पर: $306 \times 657 = 9 \times \text{LCM}$
$\text{LCM} = \frac{306 \times 657}{9}$
$\text{LCM} = 34 \times 657 = 22338$
10संख्या $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार है:
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Answer: $0.4$
Hint: भिन्न को सरल करें और फिर भाग दें।
Solution:
दी गई परिमेय संख्या $\frac{6}{15}$ है।
पहले इस भिन्न को सरल करें। दोनों संख्याओं को 3 से विभाजित किया जा सकता है:
$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$
अब, 2 को 5 से विभाजित करें:
$\frac{2}{5} = 0.4$
अतः, $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार $0.4$ है।
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Tips for Real Numbers MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Real Numbers MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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