अध्याय 12 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Surface Areas & Volumes MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Surface Areas & Volumes — MCQ Questions
1यदि एक गोले की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो उसका आयतन कितने गुना बढ़ जाएगा?
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Answer: 8 गुना
Hint: गोले का आयतन उसकी त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है।
Solution:
माना मूल गोले की त्रिज्या $r$ है। तब उसका आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होगा।
जब त्रिज्या को दोगुना किया जाता है, तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ हो जाती है।
नए गोले का आयतन $V' = \frac{4}{3}\pi (r')^3 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3$ होगा।
$V' = \frac{4}{3}\pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3}\pi r^3)$
अतः, $V' = 8V$। आयतन 8 गुना बढ़ जाएगा।
2समान आधार त्रिज्या और समान ऊँचाई वाले एक बेलन और एक शंकु के आयतनों का अनुपात क्या होगा?
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Answer: 3:1
Hint: बेलन का आयतन $\pi r^2 h$ होता है, और शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ होता है।
Solution:
माना बेलन और शंकु की आधार त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का आयतन $V_{बेलन} = \pi r^2 h$।
शंकु का आयतन $V_{शंकु} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$।
इनके आयतनों का अनुपात $V_{बेलन} : V_{शंकु} = \pi r^2 h : \frac{1}{3}\pi r^2 h$।
यह अनुपात $1 : \frac{1}{3}$ के बराबर है, जिसे $3:1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
3एक खिलौना एक बेलनाकार आधार पर एक अर्धगोले को रखकर बनाया गया है। इस ठोस खिलौने के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में क्या शामिल नहीं होगा?
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Answer: बेलन के ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल
Hint: जब दो ठोसों को जोड़ा जाता है, तो उनके जुड़ने वाले तल आंतरिक हो जाते हैं और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं होते हैं।
Solution:
एक ठोस खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी बाहरी सतहों का योग होता है।
इस खिलौने में, अर्धगोला बेलन के ऊपर रखा गया है। इसलिए, अर्धगोले का आधार और बेलन का ऊपरी सिरा एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं।
ये दोनों सतहें (अर्धगोले का आधार और बेलन के ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल) खिलौने की कुल बाहरी सतह का हिस्सा नहीं होंगी, क्योंकि वे अंदर की ओर हैं।
तो, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और बेलन के आधार का क्षेत्रफल शामिल होगा।
बेलन के ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल शामिल नहीं होगा।
4एक अर्धगोले की त्रिज्या $r$ है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
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Answer: $3\pi r^2$
Hint: अर्धगोले में वक्र सतह और एक समतल वृत्ताकार आधार होता है।
Solution:
एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^2$ होता है।
अर्धगोले के वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है।
अतः, अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$।
5एक $6$ cm त्रिज्या वाले ठोस गोले को पिघलाकर $2$ cm त्रिज्या वाला एक ठोस बेलन बनाया जाता है। बेलन की ऊँचाई क्या होगी?
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Answer: 72 cm
Hint: ठोस को एक आकार से दूसरे आकार में बदलने पर उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है।
Solution:
गोले की त्रिज्या $r_g = 6$ cm है। गोले का आयतन $V_g = \frac{4}{3}\pi r_g^3$।
$V_g = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi (216) = 4 \times 72 \pi = 288\pi \text{ cm}^3$।
बेलन की त्रिज्या $r_b = 2$ cm है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ है। बेलन का आयतन $V_b = \pi r_b^2 h$।
$V_b = \pi (2)^2 h = 4\pi h$।
ठोस को पिघलाने पर आयतन समान रहता है, इसलिए $V_g = V_b$।
$288\pi = 4\pi h$
$h = \frac{288\pi}{4\pi} = 72 \text{ cm}$।
6एक खोखले बेलन का आयतन क्या होगा जिसकी बाहरी त्रिज्या $R$, आंतरिक त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है?
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Answer: $\pi (R^2 - r^2) h$
Hint: खोखले बेलन का आयतन बाहरी बेलन के आयतन में से आंतरिक बेलन के आयतन को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
Solution:
बाहरी बेलन का आयतन $V_{बाहरी} = \pi R^2 h$।
आंतरिक बेलन का आयतन $V_{आंतरिक} = \pi r^2 h$।
खोखले बेलन में सामग्री का आयतन $V_{खोखले} = V_{बाहरी} - V_{आंतरिक}$।
$V_{खोखले} = \pi R^2 h - \pi r^2 h$।
$V_{खोखले} = \pi h (R^2 - r^2)$।
7यदि एक शंकु की त्रिज्या $r$ और तिर्यक ऊँचाई $l$ है, तो उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
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Answer: $\pi r l$
Hint: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आधार को छोड़कर उसकी घुमावदार सतह का क्षेत्रफल होता है।
Solution:
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल वह क्षेत्रफल होता है जो उसके आधार को छोड़कर उसकी बाहरी घुमावदार सतह को कवर करता है।
यह सूत्र $\pi r l$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
8एक घनाभ की लंबाई 5 cm, चौड़ाई 3 cm और ऊँचाई 2 cm है। इसका आयतन क्या होगा?
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Answer: 30 cm$^3$
Hint: घनाभ का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का गुणनफल होता है।
Solution:
घनाभ की लंबाई $(l) = 5$ cm।
घनाभ की चौड़ाई $(b) = 3$ cm।
घनाभ की ऊँचाई $(h) = 2$ cm।
घनाभ का आयतन $V = l \times b \times h$।
$V = 5 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^3$।
9एक खिलौना एक शंकु के आकार का है जो एक ही त्रिज्या $r$ वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। यदि शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या $r$ के बराबर है, तो खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
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Answer: $\pi r^2 (\sqrt{2} + 2)$
Hint: खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होगा। शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें।
Solution:
अर्धगोले की त्रिज्या $r$ है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = $2\pi r^2$।
शंकु की त्रिज्या भी $r$ है और ऊँचाई $h = r$ है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = $\pi r l = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2\sqrt{2}$।
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = अर्धगोले का CSA + शंकु का CSA
= $2\pi r^2 + \pi r^2\sqrt{2} = \pi r^2 (2 + \sqrt{2})$।
10जब एक ठोस को एक आकार से दूसरे आकार में रूपांतरित किया जाता है (जैसे एक गोले को पिघलाकर एक बेलन बनाना), तो कौन सी मात्रा अपरिवर्तित रहती है?
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Answer: आयतन
Hint: सामग्री की मात्रा हमेशा समान रहती है, भले ही उसका आकार बदल जाए।
Solution:
जब किसी ठोस को पिघलाकर या ढालकर दूसरे आकार में रूपांतरित किया जाता है, तो उस ठोस में निहित पदार्थ की मात्रा समान रहती है।
यह पदार्थ की मात्रा ही उस ठोस का आयतन होती है।
हालांकि पृष्ठीय क्षेत्रफल, ऊँचाई और त्रिज्या जैसे आयाम बदल सकते हैं, आयतन हमेशा अपरिवर्तित रहता है।
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Tips for Surface Areas & Volumes MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Surface Areas & Volumes MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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