अध्याय 6 · Class 10 UP Board · MCQ Test
Triangles MCQ Test — Class 10 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Triangles — MCQ Questions
1यदि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है और $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 75^\circ$ है, तो $\angle R$ का मान क्या होगा?
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Answer: 60°
Hint: समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
Solution:
दिए गए $\triangle ABC$ में, $\angle A = 45^\circ$ और $\angle B = 75^\circ$।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$।
$45^\circ + 75^\circ + \angle C = 180^\circ$
$120^\circ + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।
चूंकि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है, समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं। अतः, $\angle R = \angle C$।
इसलिए, $\angle R = 60^\circ$।
2निम्नलिखित में से कौन सी भुजाओं की माप एक समकोण त्रिभुज बनाती है?
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Answer: (6, 8, 10)
Hint: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करें। जाँच करें कि क्या सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।
Solution:
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि एक त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।
हमें प्रत्येक विकल्प की जाँच करनी होगी:
विकल्प (2, 3, 4): $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 4^2 = 16$।
विकल्प (6, 8, 10): $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ और $10^2 = 100$। यहाँ $6^2 + 8^2 = 10^2$ है।
विकल्प (5, 6, 7): $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 7^2 = 49$।
विकल्प (7, 9, 11): $7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130 \neq 11^2 = 121$।
चूंकि केवल (6, 8, 10) पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है, यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
3यदि $\triangle PQR \sim \triangle STU$ है और $PQ:ST = 2:3$ है, तो $\triangle PQR$ के परिमाप का $\triangle STU$ के परिमाप से अनुपात क्या होगा?
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Answer: $2:3$
Hint: दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
Solution:
दिए गए हैं कि $\triangle PQR \sim \triangle STU$।
समरूप त्रिभुजों के संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
साथ ही, समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात भी उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
हमें दिया गया है $PQ:ST = 2:3$।
तो, $\text{परिमाप}(\triangle PQR) / \text{परिमाप}(\triangle STU) = PQ/ST = 2/3$।
अतः, परिमापों का अनुपात $2:3$ होगा।
4दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $5:7$ है। उनकी संगत ऊँचाइयों का अनुपात क्या होगा?
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Answer: $5:7$
Hint: समरूप त्रिभुजों में, संगत ऊँचाइयों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के समान होता है।
Solution:
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों में, संगत ऊँचाइयों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
हमें दिया गया है कि संगत भुजाओं का अनुपात $5:7$ है।
इसलिए, उनकी संगत ऊँचाइयों का अनुपात भी $5:7$ होगा।
5एक त्रिभुज ABC में, DE || BC है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर बिंदु हैं। यदि AD = 2 cm, DB = 4 cm और AE = 3 cm है, तो EC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: 6 cm
Hint: थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का प्रयोग करें।
Solution:
चूँकि DE || BC है, थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$$\frac{2}{4} = \frac{3}{EC}$$
$$2 \times EC = 4 \times 3$$
$$2 \times EC = 12$$
$$EC = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$
6त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु S और T हैं। निम्नलिखित में से किस स्थिति में ST || QR होगा?
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Answer: PS/SQ = PT/TR
Hint: थेल्स प्रमेय के विलोम को याद करें।
Solution:
थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के विलोम के अनुसार, यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करती है कि वह उन्हें समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
इस प्रकार, यदि PS/SQ = PT/TR है, तो ST || QR होगा।
7दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ समरूप होते हैं यदि:
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Answer: उपरोक्त सभी
Hint: समरूप त्रिभुजों की परिभाषा और कसौटियों पर विचार करें।
Solution:
दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों।
विकल्प (A) AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी को दर्शाता है।
विकल्प (B) SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी को दर्शाता है।
विकल्प (C) SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी को दर्शाता है।
ये सभी स्थितियाँ समरूप त्रिभुजों की परिभाषा का पालन करती हैं या समरूपता की कसौटियाँ हैं। अतः, 'उपरोक्त सभी' सही उत्तर है।
8यदि दो समरूप त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ के क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm$^2$ और 121 cm$^2$ हैं। यदि EF = 11 cm है, तो BC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
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Answer: 8 cm
Hint: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
Solution:
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
$$\frac{\text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$$
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{11}\right)^2$$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{11}$$
$$\frac{8}{11} = \frac{BC}{11}$$
$$BC = 8 \text{ cm}$$
9एक समकोण त्रिभुज में, यदि आधार 6 cm और लंब 8 cm है, तो उसके कर्ण की लंबाई क्या होगी?
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Answer: 10 cm
Hint: पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें।
Solution:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं (आधार और लंब) के वर्गों के योग के बराबर होता है।
$$\text{कर्ण}^2 = \text{आधार}^2 + \text{लंब}^2$$
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$$\text{कर्ण}^2 = 6^2 + 8^2$$
$$\text{कर्ण}^2 = 36 + 64$$
$$\text{कर्ण}^2 = 100$$
$$\text{कर्ण} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$
10एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 cm, 24 cm और 25 cm हैं। यह किस प्रकार का त्रिभुज है?
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Answer: समकोण त्रिभुज
Hint: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करें। सबसे बड़ी भुजा को कर्ण मानकर जाँच करें।
Solution:
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।
दी गई भुजाएँ 7 cm, 24 cm और 25 cm हैं। सबसे बड़ी भुजा 25 cm है।
सबसे बड़ी भुजा का वर्ग: $$25^2 = 625$$
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग: $$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$
चूँकि $7^2 + 24^2 = 25^2$ है, अतः यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
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Tips for Triangles MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Triangles MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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