अध्याय 9 · Class 9 UP Board · MCQ Test
Areas of Parallelograms & Triangles MCQ Test — Class 9 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Areas of Parallelograms & Triangles — MCQ Questions
1एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित दो आकृतियों के बारे में क्या सत्य है?
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Answer: उनके क्षेत्रफल बराबर हो सकते हैं, लेकिन हमेशा नहीं।
Hint: सभी आकृतियों के लिए यह आवश्यक नहीं है कि उनके क्षेत्रफल बराबर हों। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज को देखें।
Solution:
एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित दो आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर हो भी सकते हैं और नहीं भी।
उदाहरण के लिए, यदि वे दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
लेकिन यदि उनमें से एक समांतर चतुर्भुज है और दूसरा त्रिभुज है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
अतः, यह कहना कि उनके क्षेत्रफल हमेशा बराबर होते हैं, गलत है। वे बराबर हो सकते हैं, लेकिन हमेशा नहीं।
2यदि एक समांतर चतुर्भुज का आधार $b$ और संगत ऊँचाई $h$ है, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
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Answer: $b \times h$
Hint: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
Solution:
हम जानते हैं कि किसी भी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार (base) और संगत ऊँचाई (corresponding height) के गुणनफल के बराबर होता है।
यदि आधार $b$ है और ऊँचाई $h$ है, तो क्षेत्रफल $A = b \times h$ होगा।
3यदि दो समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो उनके क्षेत्रफलों के बारे में क्या कहा जा सकता है?
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Answer: उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
Hint: एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल हमेशा बराबर होते हैं।
Solution:
प्रमेय (Theorem 9.1) के अनुसार, एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
अतः, यदि दो समांतर चतुर्भुज इस शर्त को पूरा करते हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
4एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का क्या संबंध है?
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Answer: त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होगा।
Hint: त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के साथ एक विशिष्ट संबंध रखता है जब वे एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हों।
Solution:
प्रमेय (Theorem 9.2) के अनुसार, यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इसलिए, $Area(\text{त्रिभुज}) = \frac{1}{2} \times Area(\text{समांतर चतुर्भुज})$।
5यदि दो त्रिभुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का क्या संबंध है?
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Answer: उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
Hint: एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के संबंध पर विचार करें।
Solution:
प्रमेय (Theorem 9.3) के अनुसार, एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
यह इसलिए होता है क्योंकि उनका आधार समान होता है और उनके शीर्षों से आधार पर खींची गई ऊँचाई भी समान होती है (समांतर रेखाओं के बीच की दूरी)।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$। चूँकि आधार और ऊँचाई दोनों समान हैं, तो क्षेत्रफल भी समान होंगे।
6एक समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है। यदि त्रिभुज ABX इस प्रकार है कि X, DC पर है और त्रिभुज ABX और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB और एक ही समांतर रेखाओं AB तथा DC के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज ABX का क्षेत्रफल क्या होगा?
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Answer: 40 वर्ग सेमी
Hint: एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Solution:
त्रिभुज ABX और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB पर स्थित हैं।
वे एक ही समांतर रेखाओं AB और DC के बीच भी स्थित हैं, क्योंकि बिंदु X भुजा DC पर है।
प्रमेय के अनुसार, यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
अतः, $Area(\text{त्रिभुज ABX}) = \frac{1}{2} \times Area(\text{समांतर चतुर्भुज ABCD})$।
मान रखने पर, $Area(\text{त्रिभुज ABX}) = \frac{1}{2} \times 80 = 40$ वर्ग सेमी।
7त्रिभुज ABC में, AD एक माध्यिका (median) है। यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल कितना होगा?
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Answer: 24 वर्ग सेमी
Hint: त्रिभुज की माध्यिका उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
Solution:
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक माध्यिका उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है।
यहाँ, AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, जो इसे त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD में विभाजित करती है।
इसलिए, $Area(\text{त्रिभुज ABD}) = Area(\text{त्रिभुज ACD}) = \frac{1}{2} \times Area(\text{त्रिभुज ABC})$।
दिया गया है $Area(\text{त्रिभुज ABC}) = 48$ वर्ग सेमी।
अतः, $Area(\text{त्रिभुज ABD}) = \frac{1}{2} \times 48 = 24$ वर्ग सेमी।
8यदि दो त्रिभुज ABC और DBC का आधार BC समान है और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं ($Area(\text{त्रिभुज ABC}) = Area(\text{त्रिभुज DBC})$), तो बिंदु A और D के बारे में क्या कहा जा सकता है?
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Answer: A और D हमेशा एक ही रेखा पर स्थित होते हैं जो BC के समानांतर है।
Hint: यदि त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हैं और उनका आधार समान है, तो उनके शीर्षों की संगत ऊँचाई पर विचार करें।
Solution:
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$।
दिया गया है कि $Area(\text{त्रिभुज ABC}) = Area(\text{त्रिभुज DBC})$ और आधार BC समान है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{2} \times BC \times h_1 = \frac{1}{2} \times BC \times h_2$, जहाँ $h_1$ शीर्ष A से BC पर लंबवत दूरी है और $h_2$ शीर्ष D से BC पर लंबवत दूरी है।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $h_1 = h_2$।
यदि A और D की BC से लंबवत दूरी समान है, तो A और D एक ऐसी रेखा पर स्थित होंगे जो BC के समानांतर है।
9एक चतुर्भुज PQRS में, विकर्ण PR इसे दो त्रिभुजों PQR और PSR में विभाजित करता है। यदि $Area(\text{त्रिभुज PQR}) = 25$ वर्ग सेमी और $Area(\text{त्रिभुज PSR}) = 35$ वर्ग सेमी है, तो चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल क्या होगा?
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Answer: 60 वर्ग सेमी
Hint: एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्ण द्वारा बनाए गए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
Solution:
एक चतुर्भुज को उसके एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल, त्रिभुज PQR और त्रिभुज PSR के क्षेत्रफलों का योग होगा।
$Area(\text{चतुर्भुज PQRS}) = Area(\text{त्रिभुज PQR}) + Area(\text{त्रिभुज PSR})$
$Area(\text{चतुर्भुज PQRS}) = 25 \text{ वर्ग सेमी} + 35 \text{ वर्ग सेमी} = 60 \text{ वर्ग सेमी}$।
10एक समांतर चतुर्भुज और एक आयत एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों के बारे में क्या सत्य है?
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Answer: उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
Hint: आयत भी एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है।
Solution:
हम जानते हैं कि आयत एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं।
प्रमेय (Theorem 9.1) के अनुसार, एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित दो समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
चूँकि आयत भी एक समांतर चतुर्भुज है, यह प्रमेय आयत और समांतर चतुर्भुज पर भी लागू होता है।
अतः, उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
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Tips for Areas of Parallelograms & Triangles MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Areas of Parallelograms & Triangles MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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