Heron's Formula MCQ Test — Class 9 UP Board

Solution:

त्रिभुज की भुजाएँ $a = 12$ cm, $b = 17$ cm और $c = 25$ cm हैं।

त्रिभुज का परिमाप $= a + b + c = 12 + 17 + 25 = 54$ cm।

अर्ध-परिमाप (s) = $\frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{54}{2} = 27$ cm।

Solution:

त्रिभुज की भुजाएँ $a = 8$ cm, $b = 15$ cm और $c = 17$ cm हैं।

अर्ध-परिमाप (s) $= \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20$ cm।

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

क्षेत्रफल $= \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)}$ — $$क्षेत्रफल = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3} = \sqrt{3600} = 60 \text{ वर्ग cm}$$

Solution:

समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 cm है। यदि भुजा की लंबाई $a$ है, तो $3a = 60$ cm।

अतः, $a = \frac{60}{3} = 20$ cm।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र है $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$।

क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} (20)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100\sqrt{3}$ वर्ग cm।

Solution:

त्रिभुज की दो भुजाएँ $a = 10$ cm और $b = 12$ cm हैं। परिमाप = 32 cm।

तीसरी भुजा $c = \text{परिमाप} - (a+b) = 32 - (10+12) = 32 - 22 = 10$ cm।

अब, भुजाएँ $a = 10$ cm, $b = 12$ cm, $c = 10$ cm हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

अर्ध-परिमाप (s) $= \frac{10 + 12 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ cm।

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ — $$क्षेत्रफल = \sqrt{16(16-10)(16-12)(16-10)} = \sqrt{16 \times 6 \times 4 \times 6} = \sqrt{16 \times 4 \times 36} = 4 \times 2 \times 6 = 48 \text{ वर्ग cm}$$

Solution:

त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात $3:5:7$ है। माना भुजाएँ $3x, 5x, 7x$ हैं।

परिमाप $= 3x + 5x + 7x = 15x$।

दिया गया है कि परिमाप 300 m है, तो $15x = 300 \Rightarrow x = \frac{300}{15} = 20$ m।

त्रिभुज की भुजाएँ हैं: $a = 3 \times 20 = 60$ m, $b = 5 \times 20 = 100$ m, $c = 7 \times 20 = 140$ m।

अर्ध-परिमाप (s) $= \frac{300}{2} = 150$ m।

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ — $$क्षेत्रफल = \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)}$$

$$क्षेत्रफल = \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} = \sqrt{67500000} = \sqrt{225 \times 3 \times 100000} = 15 \times 100 \times \sqrt{3 \times 10} = 1500\sqrt{3} \text{ वर्ग m}$$

Solution:

हीरोन का सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है जब उसकी तीनों भुजाएँ ज्ञात हों।

इस सूत्र में, $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।

और 's' त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) होता है, जिसे $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

Solution:

समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ $a = 10$ cm, $b = 10$ cm और $c = 12$ cm हैं।

अर्ध-परिमाप (s) $= \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ cm।

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

क्षेत्रफल $= \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$ — $$क्षेत्रफल = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{16 \times 4 \times 36} = 4 \times 2 \times 6 = 48 \text{ वर्ग cm}$$

Solution:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग cm।

त्रिभुज का आधार = 8 cm।

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।

अतः, $24 = \frac{1}{2} \times 8 \times \text{ऊंचाई}$।

$24 = 4 \times \text{ऊंचाई}$।

ऊंचाई $= \frac{24}{4} = 6$ cm।

Solution:

त्रिभुज की भुजाएँ $a = 13$ cm, $b = 14$ cm और $c = 15$ cm हैं।

अर्ध-परिमाप (s) $= \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ cm।

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

क्षेत्रफल $= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ — $$क्षेत्रफल = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$$

$$क्षेत्रफल = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84 \text{ वर्ग cm}$$

Solution:

त्रिभुज की भुजाएँ $a = 5$ cm, $b = 12$ cm और $c = 13$ cm हैं।

हम देख सकते हैं कि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। अतः, यह एक समकोण त्रिभुज है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ वर्ग cm।

वैकल्पिक रूप से, हीरोन के सूत्र से:

अर्ध-परिमाप (s) $= \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ cm।

क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}$ — $$क्षेत्रफल = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30 \text{ वर्ग cm}$$