अध्याय 1 · Class 9 UP Board · MCQ Test
Number Systems MCQ Test — Class 9 UP Board
Practice 10 multiple-choice questions with instant answer reveal and explanations.
Number Systems — MCQ Questions
1निम्न में से कौन सा कथन असत्य है?
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Answer: प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।
Hint: परिमेय संख्याएँ भिन्नात्मक भी हो सकती हैं, जबकि पूर्णांक नहीं।
Solution:
कथन 1: 'प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।' सत्य है, क्योंकि पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल होती हैं (जैसे $1, 2, 3, ...$)।
कथन 2: 'प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है।' सत्य है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक $z$ को $z/1$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $p/q$ रूप है।
कथन 3: 'प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।' असत्य है। उदाहरण के लिए, $1/2$ एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्णांक नहीं है।
कथन 4: 'प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या नहीं होती है।' सत्य है, क्योंकि $0$ एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है।
अतः, असत्य कथन 'प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है' है।
2निम्न में से कौन सी एक अपरिमेय संख्या है?
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Answer: $\sqrt{7}$
Hint: अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ $p, q$ पूर्णांक हों और $q \neq 0$।
Solution:
विकल्प 1: $\sqrt{9} = 3$, जो एक परिमेय संख्या है (इसे $3/1$ के रूप में लिखा जा सकता है)।
विकल्प 2: $0.333...$ एक आवर्ती दशमलव है, जिसे $1/3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
विकल्प 3: $\sqrt{7}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है। इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
विकल्प 4: $2/3$ पहले से ही $p/q$ रूप में है, जहाँ $p=2$ और $q=3$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।
31 और 2 के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ हैं?
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Answer: असंख्य
Hint: दो परिमेय संख्याओं के बीच हमेशा एक और परिमेय संख्या खोजना संभव है।
Solution:
गणित में, किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच असंख्य परिमेय संख्याएँ होती हैं।
उदाहरण के लिए, 1 और 2 के बीच $1.1, 1.01, 1.001, 1.5, 1.99$ आदि जैसी कई संख्याएँ हैं। इन सभी को $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यह गुण परिमेय संख्याओं के घनत्व (density) को दर्शाता है।
इसलिए, 1 और 2 के बीच असंख्य परिमेय संख्याएँ हैं।
4$0.6$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त करें, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं तथा $q \neq 0$।
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Answer: $3/5$
Hint: दशमलव के बाद के अंकों की संख्या के आधार पर 10 की घात से गुणा करें और फिर सरल करें।
Solution:
हमें $0.6$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त करना है। — $0.6$
दशमलव बिंदु हटाने के लिए, हम इसे $10$ से गुणा और भाग कर सकते हैं: — $0.6 = \frac{0.6 \times 10}{10} = \frac{6}{10}$
अब इस भिन्न को सरल करें। $6$ और $10$ दोनों $2$ से विभाज्य हैं: — $\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$
अतः, $0.6$ को $p/q$ के रूप में $3/5$ व्यक्त किया जा सकता है।
5एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल क्या होता है (यदि परिमेय संख्या शून्य न हो)?
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Answer: हमेशा एक अपरिमेय संख्या
Hint: किसी गैर-शून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने से उसका अपरिमेय गुण बदलता नहीं है।
Solution:
मान लीजिए $r$ एक परिमेय संख्या है और $s$ एक अपरिमेय संख्या है। हम $r \neq 0$ मान रहे हैं।
मान लीजिए कि उनका गुणनफल $rs$ एक परिमेय संख्या है। तब $rs = p/q$ होगा, जहाँ $p,q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।
चूंकि $r$ एक परिमेय संख्या है और $r \neq 0$, तो $r = a/b$ होगा, जहाँ $a,b$ पूर्णांक हैं और $a,b \neq 0$।
तब $s = (p/q) / r = (p/q) / (a/b) = pb / qa$। यह $s$ को एक परिमेय संख्या के रूप में दर्शाता है।
लेकिन हमने माना था कि $s$ एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
इसलिए, हमारा प्रारंभिक अनुमान कि $rs$ एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः, $rs$ हमेशा एक अपरिमेय संख्या होगी।
6अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कैसा होता है?
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Answer: अनवसानी अनावर्ती
Hint: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनवसानी आवर्ती।
Solution:
परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत (जैसे $0.5$) होता है या अनवसानी आवर्ती (जैसे $0.333...$ या $0.142857142857...$)।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार न तो कभी समाप्त होता है (अनवसानी) और न ही कभी अंकों का कोई ब्लॉक दोहराता है (अनावर्ती)।
उदाहरण के लिए, $\sqrt{2} = 1.41421356...$ और $\pi = 3.14159265...$ का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है।
अतः, अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा अनवसानी अनावर्ती होता है।
7प्रत्येक वास्तविक संख्या क्या होती है?
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Answer: या तो एक परिमेय संख्या या एक अपरिमेय संख्या
Hint: वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संग्रह होती हैं।
Solution:
संख्या पद्धति में, वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) और अपरिमेय संख्याओं (Irrational Numbers) के समुच्चय का संयोजन होती हैं।
कोई भी वास्तविक संख्या या तो परिमेय होती है (जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) या अपरिमेय होती है (जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता)।
उदाहरण के लिए, $2$ एक वास्तविक संख्या और एक परिमेय संख्या है। $\sqrt{3}$ एक वास्तविक संख्या और एक अपरिमेय संख्या है।
कोई भी वास्तविक संख्या एक ही समय में परिमेय और अपरिमेय नहीं हो सकती।
अतः, प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो एक परिमेय संख्या या एक अपरिमेय संख्या होती है।
8$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ का मान क्या है?
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Answer: $3$
Hint: बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का प्रयोग करें।
Solution:
हमें व्यंजक $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ का मान ज्ञात करना है।
यह $(a-b)(a+b)$ के रूप का है, जहाँ $a = \sqrt{5}$ और $b = \sqrt{2}$।
हम जानते हैं कि $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$।
इस सर्वसमिका का प्रयोग करने पर: — $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2$
$5 - 2 = 3$
अतः, $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ का मान $3$ है।
9संख्या $3/5$ संख्या रेखा पर कहाँ स्थित है?
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Answer: $0$ और $1$ के बीच
Hint: भिन्न के मान को दशमलव में परिवर्तित करके देखें कि वह किन दो पूर्णांकों के बीच आता है।
Solution:
संख्या $3/5$ को दशमलव रूप में परिवर्तित करें:
$3 \div 5 = 0.6$
हम जानते हैं कि $0.6$ शून्य ($0$) से बड़ा है और एक ($1$) से छोटा है।
इसलिए, संख्या $3/5$ संख्या रेखा पर $0$ और $1$ के बीच स्थित है।
10निम्न में से कौन सी संख्या एक परिमेय संख्या नहीं है?
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Answer: $\sqrt{10}$
Hint: परिमेय संख्या को $p/q$ के रूप में लिखा जा सकता है।
Solution:
विकल्प 1: $0$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $0/1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विकल्प 2: $-5$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $-5/1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विकल्प 3: $\sqrt{16} = 4$, जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $4/1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विकल्प 4: $\sqrt{10}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है। इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{10}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।
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Tips for Number Systems MCQs
- 1Read each question carefully and identify what is being asked before looking at the options.
- 2Try to solve the problem mentally or on paper first, then match your answer with the options.
- 3Use elimination — rule out clearly wrong options to improve your chances even when unsure.
- 4Check units, signs, and edge cases — these are common traps in Number Systems MCQs.
- 5Review your mistakes after completing the test to build lasting understanding.
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