Polynomials MCQ Test — Class 9 UP Board

Solution:

बहुपद की परिभाषा के अनुसार, एक व्यंजक को बहुपद तभी कहा जाता है जब उसमें चर (variables) की घात हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो।

विकल्प A: $x^2 + \sqrt{x} + 3 = x^2 + x^{1/2} + 3$. यहाँ $x$ की घात $1/2$ है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है।

विकल्प B: $y + \frac{1}{y} = y + y^{-1}$. यहाँ $y$ की घात $-1$ है, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है।

विकल्प C: $t^3 - t^2 + 5t - 7$. यहाँ $t$ की सभी घातें (3, 2, 1, 0) पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह एक बहुपद है।

विकल्प D: $\sqrt{2}x - 5x^{-1} + 1$. यहाँ $x$ की घात $-1$ है, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है।

Solution:

दिए गए बहुपद $P(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 9$ में, विभिन्न पदों में चर $x$ की घातें हैं:

पहले पद $5x^4$ में $x$ की घात 4 है।

दूसरे पद $-3x^2$ में $x$ की घात 2 है।

तीसरे पद $7x$ में $x$ की घात 1 है।

चौथे पद $-9$ (जिसे $-9x^0$ लिखा जा सकता है) में $x$ की घात 0 है।

इन सभी घातों में, उच्चतम घात 4 है। इसलिए, बहुपद की घात 4 है।

Solution:

बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए, हमें बहुपद $p(x)$ को शून्य के बराबर रखना होगा।

$p(x) = 3x - 6$

$3x - 6 = 0$

दोनों पक्षों में 6 जोड़ने पर:

$3x = 6$

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर:

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

अतः, बहुपद का शून्यक 2 है।

Solution:

हमें बहुपद $p(x) = x^2 + 2x + 1$ दिया गया है।

$p(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद में $x$ के स्थान पर 1 प्रतिस्थापित करेंगे।

$p(1) = (1)^2 + 2(1) + 1$

$p(1) = 1 + 2 + 1$

$p(1) = 4$

अतः, $p(1)$ का मान 4 है।

Solution:

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से भाग दिया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है।

यहाँ, $p(x) = x^3 + 1$ और हम इसे $(x+1)$ से भाग दे रहे हैं। इसे $(x - (-1))$ के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए $a = -1$।

हमें $p(-1)$ का मान ज्ञात करना है।

$p(-1) = (-1)^3 + 1$

$p(-1) = -1 + 1$

$p(-1) = 0$

अतः, शेषफल 0 है।

Solution:

दिए गए बहुपद $4x^2 - 3x + 7$ में, विभिन्न पदों को देखें।

पहला पद $4x^2$ है। इसमें $x^2$ के साथ गुणा होने वाली संख्या 4 है।

दूसरा पद $-3x$ है। इसमें $x$ का गुणांक $-3$ है।

तीसरा पद $7$ है, जो एक अचर पद है।

हमसे $x^2$ का गुणांक पूछा गया है, जो 4 है।

Solution:

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $(x-2)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो $p(2) = 0$ होगा।

हमें $p(x) = x^2 - kx + 4$ दिया गया है।

$x=2$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:

$p(2) = (2)^2 - k(2) + 4$

$0 = 4 - 2k + 4$

$0 = 8 - 2k$

दोनों पक्षों में $2k$ जोड़ने पर:

$2k = 8$

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:

$k = \frac{8}{2}$

$k = 4$

अतः, $k$ का मान 4 है।

Solution:

एक द्विपदी बहुपद वह होता है जिसमें ठीक दो पद होते हैं।

विकल्प A: $x^3$ - इसमें केवल एक पद है, इसलिए यह एक एकपदी (monomial) है।

विकल्प B: $2x + 5$ - इसमें दो पद ($2x$ और $5$) हैं, इसलिए यह एक द्विपदी (binomial) है।

विकल्प C: $x^2 + 3x - 1$ - इसमें तीन पद हैं, इसलिए यह एक त्रिपदी (trinomial) है।

विकल्प D: $7$ - इसमें केवल एक अचर पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

Solution:

बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम $p(x)$ को शून्य के बराबर रखेंगे।

$p(x) = 2x - 1$

$2x - 1 = 0$

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर:

$2x = 1$

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:

$x = \frac{1}{2}$

अतः, बहुपद का शून्यक $\frac{1}{2}$ है।

Solution:

एक बहुपद में, चर की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या (0, 1, 2, ...) होनी चाहिए।

विकल्प C में, $z + \frac{1}{z}$ को $z + z^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ, चर z की घात -1 है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है।

अतः, $z + \frac{1}{z}$ एक बहुपद नहीं है।